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प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान |

एक पूर्ण चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान कितना होता है

प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान :- जैसा कि हमने लेख प्रत्यावर्ती धारा में देखा, प्रत्यावर्ती धारा का मान प्रथम अर्ध चक्र (t = 0 से t = T/2) में धनात्मक होता है व द्वितीय अर्ध चक्र (t = T/2 से t = T) में उतना ही ऋणात्मक भी होता है, अतः एक पूर्ण चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान शून्य प्राप्त होगा। किन्तु प्रथम अर्ध चक्र व द्वितीय अर्ध चक्र समरूप हैं अतः हम किसी भी एक अर्ध चक्र के लिए प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान ज्ञात कर सकते हैं।

किसी भी एक अर्ध चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान उस दिष्ट धारा के मान के तुल्य होता है जो किसी विद्युत परिपथ में अर्ध चक्र में (T/2 समय में) उतना आवेश प्रवाहित कर दे जितना प्रत्यावर्ती धारा द्वारा उसी विद्युत परिपथ में अर्ध चक्र में प्रवाहित किया जाता है।

प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान ज्ञात करने के लिए माना किसी विद्युत परिपथ में प्रवाहित प्रत्यावर्ती धारा निम्न फलन द्वारा दी जाती है :-

$\displaystyle I={{I}_{0}}sin\text{ }\omega t$ …..(1)

जहाँ I₀ प्रत्यावर्ती धारा का शीर्ष मान/शिखर मान है।

यदि अल्प समय dt के लिए प्रत्यावर्ती धारा का मान नियत माना जाए तब परिपथ में प्रवाहित अल्प आवेश dq :

$\displaystyle dq=Idt=\left( {{I}_{0}}sin\text{ }\omega t \right)dt$ …..(2)

प्रथम अर्ध चक्र (t = 0 से t = T/2) में परिपथ में प्रवाहित कुल आवेश :

$\displaystyle q=\int\limits_{0}^{{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\left( {{I}_{0}}sin\text{ }\omega t \right)dt}$

$\displaystyle \Rightarrow q={{I}_{0}}\int\limits_{0}^{{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\left( sin\text{ }\omega t \right)dt}$

$\displaystyle \Rightarrow q={{I}_{0}}\left[ \frac{-cos\text{ }\omega t}{\omega } \right]_{0}^{{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{I}_{0}}}{\omega }\left[ cos\text{ }\left( \omega \times \frac{T}{2} \right)-cos\text{ }\left( \omega \times 0 \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{I}_{0}}}{\omega }\left[ cos\text{ }\left( \frac{2\pi }{T}\times \frac{T}{2} \right)-cos\text{ }\left( 0 \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{I}_{0}}}{\omega }\left[ cos\text{ }\left( \pi \right)-cos\text{ }\left( 0 \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{I}_{0}}}{\omega }\left[ -1-1 \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=\frac{2{{I}_{0}}}{\omega }$ …..(3)

यदि I_m प्रथम अर्ध चक्र (t = 0 से t = T/2) में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान हो, तब

$\displaystyle q={{I}_{m}}\times \frac{T}{2}$ …..(4)

समीकरण (3) व (4) से,

$\displaystyle {{I}_{m}}\times \frac{T}{2}=\frac{2{{I}_{0}}}{\omega }$

$\displaystyle \Rightarrow {{I}_{m}}\times \frac{T}{2}=\frac{2{{I}_{0}}}{{}^{2\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{T}\;}$

$\displaystyle \therefore {{I}_{m}}=\frac{2}{\pi }{{I}_{0}}=\text{0}\text{.637}{{I}_{0}}$ …..(5)

अतः अर्ध चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान उसके शिखर मान (I₀) का 0.637 गुना होता है अथवा शिखर मान का 63.7 % होता है।

इसी प्रकार समीकरण (2) का द्वितीय अर्ध चक्र (t = T/2 से t = T) के लिए समाकलन किया जाए तब हमें निम्न मान प्राप्त होगा :

$\displaystyle {{I}_{m}}=-\frac{2}{\pi }{{I}_{0}}=-\text{0}\text{.637}{{I}_{0}}$ …..(6)

अतः एक पूर्ण चक्र (t = 0 से t = T) में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान (0.637 I₀ – 0.637 I₀ = ) शून्य प्राप्त होता है।

उपरोक्त परिणाम को समीकरण (2) का t = 0 से t = T सीमा में समाकलन कर भी प्राप्त किया जा सकता है।

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एक पूर्ण चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान कितना होता है

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