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धातु गुहा में आवेश प्रेरण

धातु गुहा में आवेश प्रेरण :- हम जानते हैं कि स्थिर आवेश किसी चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र उत्पन्न नहीं कर सकते। इसलिए, कोई भी विद्युत क्षेत्र रेखा किसी चालक में प्रवेश नहीं कर सकती।

मान लीजिए कि एक बिंदु आवेश +q को किसी धातु के भीतर स्थित गोलाकार गुहा के केंद्र पर रखा गया है। आवेश +q द्वारा उत्पन्न कुल विद्युत फ्लक्स का अंत गुहा की भीतरी सतह पर प्रेरित आवेश –q पर होता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि कोई भी विद्युत क्षेत्र रेखा धातु में प्रवेश ना करे। अतः बिंदु आवेश +q से प्रारंभ होने वाला संपूर्ण विद्युत फ्लक्स, गुहा की भीतरी सतह पर स्थित प्रेरित आवेश –q पर समाप्त हो जाता है।

किसी भी बिंदु A पर, जो धातु के भीतर स्थित है, कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसका अर्थ यह है कि बिंदु आवेश +q के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को गुहा की भीतरी सतह पर स्थित प्रेरित आवेशों द्वारा पूरी तरह से निरस्त कर दिया जाता है। चालक की बाह्य सतह पर +q आवेश प्रेरित होता है, जो स्वयं को इस प्रकार वितरित कर लेता है कि चालक के भीतर कहीं भी कोई विद्युत क्षेत्र उत्पन्न नहीं होता।

उपरोक्त विश्लेषण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि किसी धातु पिंड की गुहा में कोई आवेश रखा जाए, तो :

(i). गुहा की भीतरी सतह पर समान परिमाण व विपरीत प्रकृती का आवेश प्रेरित हो जाता है।

(ii). धातु की बाह्य सतह पर भी समान परिमाण व प्रकृती का आवेश प्रेरित होता है, जिसका पृष्ठीय आवेश घनत्व, पिंड की वक्रता त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(iii). यदि गुहा के भीतर स्थित आवेश को विस्थापित किया जाए, तो गुहा की भीतरी सतह पर प्रेरित आवेश का वितरण इस प्रकार समायोजित हो जाता है कि उसका आवेश केंद्र प्रभावी रूप से बिंदु आवेश का अनुसरण करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि बाह्य क्षेत्र (धातु में) में विद्युत क्षेत्र शून्य बना रहे।

(iv). जैसा की ऊपर चित्र में दर्शाया गया है, धातु गुहा के भीतर बिंदु आवेश की गति का प्रभाव चालक की बाह्य सतह पर स्थित आवेश वितरण पर नहीं पड़ता।

(v). यदि कोई अन्य आवेश चालक की बाह्य सतह पर रखा जाए, तो उसका प्रभाव केवल बाह्य सतह के आवेश वितरण पर पड़ेगा, न कि गुहा के भीतर के वितरण पर, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है।

धातु गुहा में आवेश प्रेरण की स्थिति में
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता और विद्युत विभव का निर्धारण

(a). चालक की गोलीय गुहा के केंद्रे पर रखा बिंदु आवेश

मान लीजिए कि त्रिज्या के एक गोलीय चालक में त्रिज्या की एक संकेन्द्रीय गोलीय गुहा है () व गुहा के केंद्र पर एक बिंदु आवेश +q स्थित है। प्रेरण के परिणामस्वरूप गुहा के भीतरी प्रष्ठ पर –q आवेश प्रेरित होता है और चालक के बाह्य प्रष्ठ पर समान परिमाण का आवेश +q प्रेरित होता है।

आइए तीन बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता E और विद्युत विभव V के मान ज्ञात करें :

गुहा के भीतर
धातु के भीतर
चालक के बाहर

(1). गुहा के भीतर ( )

गुहा के भीतर केंद्र से r दूरी पर विद्युत विभव :

$\displaystyle {{V}_{centre}}={{\left[ \frac{kq}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }q}}+{{\left[ \frac{k\left( -q \right)}{{{R}_{1}}} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }inner\text{ }surface\text{ }of\text{ }cavity}}+{{\left[ \frac{k\left( +q \right)}{{{R}_{2}}} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface\text{ }of\text{ }conductor}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{centre}}=kq\left[ \frac{1}{r}-\frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$

गुहा के भीतर केंद्र से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{E}_{r<{{R}_{1}}}}={{\left[ \frac{kq}{{{r}^{2}}} \right]}_{only\text{ }due\text{ }to\text{ }q}}$

(2). धातु के भीतर ( $< R_{2}$ )

केंद्र से r दूरी पर धातु के भीतर विद्युत विभव :

$\displaystyle {{V}_{{{R}_{1}}<r<{{R}_{2}}}}={{\left[ \frac{kq}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }q}}+{{\left[ \frac{k\left( -q \right)}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }inner\text{ }surface\text{ }of\text{ }cavity}}+{{\left[ \frac{k\left( +q \right)}{{{R}_{2}}} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface\text{ }of\text{ }conductor}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{{{R}_{1}}<r<{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{{{R}_{2}}}$

केंद्र से r दूरी पर धातु के भीतर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{E}_{{{R}_{1}}<r<{{R}_{2}}}}=0$

ऐसा इसलिए है क्योंकि चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(3). चालक के बाहर ( )

चालक के बाहर केंद्र से r दूरी पर विद्युत विभव :

$\displaystyle {{V}_{r>{{R}_{2}}}}={{\left[ \frac{kq}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }q}}+{{\left[ \frac{k\left( -q \right)}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }inner\text{ }surface\text{ }of\text{ }cavity}}+{{\left[ \frac{k\left( +q \right)}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface\text{ }of\text{ }conductor}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{r>{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{r}$

चालक के बाहर केंद्र से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{{\vec{E}}}_{r>{{R}_{2}}}}={{\left[ \frac{kq}{{{r}^{2}}}\hat{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }q}}+{{\left[ \frac{k\left( q \right)}{{{r}^{2}}}(-\hat{r}) \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }inner\text{ }surface\text{ }of\text{ }cavity}}+{{\left[ \frac{kq}{{{r}^{2}}}\hat{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface\text{ }of\text{ }conductor}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{E}_{r>{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{{{r}^{2}}}$

(b). चालक की गोलीय गुहा में केंद्रे से परे रखा एक बिंदु आवेश

माना गुहा के केंद्र से r दूरी पर एक बिंदु आवेश +q रखा गया है। विभिन्न पृष्ठों पर प्रेरित आवेश निम्न चित्र के अनुसार हैं :

हम निम्न तीन बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता E और विद्युत विभव V के मान ज्ञात करेंगे :

गुहा के केंद्र पर
धातु के भीतर
चालक के बाहर

(1). गुहा के केंद्र पर

निकाय के कारण केंद्र पर विद्युत विभव :

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{centre}}=\frac{kq}{r}-\frac{kq}{{{R}_{1}}}+\frac{kq}{{{R}_{2}}}$

निकाय के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (यहाँ केवल बिंदु आवेश +q का योगदान होगा) :

$\displaystyle {{E}_{centre}}={{\left[ \frac{kq}{{{r}^{2}}} \right]}_{only\text{ }due\text{ }to\text{ }q}}$

(2). धातु के भीतर

निकाय के कारण धातु के भीतर किसी बिंदु पर विद्युत विभव :

बिंदु आवेश +q केंद्र पर ना रखकर थोड़ा हटाकर रखा गया है, इससे व्यवस्था की गोलीय सममितता नहीं रही। अब धातु के आन्तरिक भाग में विद्युत विभव का मान दिशा पर भी निर्भर करेगा। इस स्थिति का कोई व्यापक हल (general solution) नहीं है व इसके लिए हमें प्रश्न में दिए गए आंकड़ों पर आश्रित हैं।

निकाय के कारण धातु के भीतर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle E=0$

क्योंकि चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(3). चालक के बाहर किसी बिंदु पर

यदि हम केंद्र से r दूरी पर, निकाय के बाहर किसी बिंदु पर, विद्युत क्षेत्र की तीव्रता और विद्युत विभव ज्ञात करें, तो वे केवल चालक के बाह्य प्रष्ठ पर प्रेरित आवेश के कारण होंगे। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि गुहा की भीतरी सतह पर प्रेरित आवेश गुहा के भीतर स्थित बिंदु आवेश के प्रभाव को निरस्त कर देता है।

केंद्र से r दूरी पर निकाय के बाहर किसी बिंदु पर विद्युत विभव :

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{r>{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{r}-\frac{kq}{r}+\frac{kq}{r}$

$\displaystyle \therefore {{V}_{r>{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{r}$

केंद्र से r दूरी पर निकाय के बाहर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{E}_{r>{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{{{r}^{2}}}$

(c). गोलीय गुहा वाले गोलाकार चालक के बाह्य प्रष्ठ को आवेशित करने पर

जब किसी चालक को आवेश दिया जाता है, तो विद्युत स्थैतिक संतुलन (electrostatic equilibrium) की स्थिति में वह सदैव चालक की बाह्य सतह पर ही रहता है। आइए तीन बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता E और विद्युत विभव V के मान ज्ञात करें :

गुहा के भीतर
धातु के भीतर
चालक के बाहर

(1). गुहा के भीतर ( )

निकाय के कारण केंद्र पर विद्युत विभव :

$\displaystyle {{V}_{centre}}={{\left[ \frac{k\left( +q \right)}{{{R}_{2}}} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface}}=\frac{kq}{{{R}_{2}}}$

केंद्र पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{E}_{centre}}=0$

क्योंकि गुहा के भीतर कोई आवेश स्थित नहीं है।

(2). धातु के भीतर ( $< R_{2}$ )

विद्युत विभव :

$\displaystyle {{V}_{centre}}={{\left[ \frac{k\left( +q \right)}{{{R}_{2}}} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface}}=\frac{kq}{{{R}_{2}}}$

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{E}_{{{R}_{1}}<r<{{R}_{2}}}}=0$

क्योंकि r त्रिज्या वाले गोले के भीतर कोई आवेश स्थित नहीं है ( $< R_{2}$ ) ।

(3). चालक के बाहर ( )

विद्युत विभव :

$\displaystyle {{V}_{centre}}={{\left[ \frac{k\left( +q \right)}{r} \right]}_{due\text{ }to\text{ }charge\text{ }on\text{ }outer\text{ }surface}}=\frac{kq}{r}$

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :

$\displaystyle {{E}_{r>{{R}_{2}}}}=\frac{kq}{{{r}^{2}}}$

धातु गुहा में आवेश प्रेरण

धातु गुहा में आवेश प्रेरण की स्थिति में विद्युत क्षेत्र की तीव्रता और विद्युत विभव का निर्धारण

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