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कुचालक गोले की गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र

कुचालक गोले की गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र :- एक समान रूप से आवेशित कुचालक गोले पर विचार करें जिसका आयतन आवेश घनत्व ρ C/m³ है। गोले के अंदर, एक गोलाकार गुहा है जिसका केंद्र बिंदु C_₁ पर है। हमें गुहा के भीतर बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। यहाँ, $\displaystyle \overrightarrow{x}$ और $\displaystyle \overrightarrow{y}$ क्रमशः गोले के केंद्र (C) और गुहा के केंद्र (C_₁) से बिंदु P के स्थिति सदिश हैं।

यदि गुहा न होती, तो बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का मान निम्न होता :

$\displaystyle {{{\vec{E}}}_{1}}={{{\vec{E}}}_{inside}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q}{{{R}^{3}}}\overrightarrow{x}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\left( \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\rho \right)}{{{R}^{3}}}\overrightarrow{x}=\frac{\rho }{3{{\varepsilon }_{0}}}\overrightarrow{x}$

इसी प्रकार, यदि हम मान लें कि आवेश केवल गुहा में स्थित है, तो यह एक समान रूप से आवेशित कुचालक गोला होगा, और बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का मान :

$\displaystyle {{{\vec{E}}}_{2}}=\frac{\rho }{3{{\varepsilon }_{0}}}\overrightarrow{y}$

लेकिन चूंकि गुहा में कोई आवेश नहीं है, इसलिए बिंदु P पर परिणामी विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित होगा :

$\displaystyle {{{\vec{E}}}_{net}}={{{\vec{E}}}_{1}}-{{{\vec{E}}}_{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{{\vec{E}}}_{net}}=\frac{\rho }{3{{\varepsilon }_{0}}}\overrightarrow{x}-\frac{\rho }{3{{\varepsilon }_{0}}}\overrightarrow{y}$

$\displaystyle \Rightarrow {{{\vec{E}}}_{net}}=\frac{\rho }{3{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y} \right]$

उपरोक्त चित्र में :

$\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}$

$\displaystyle \Rightarrow \left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y} \right)=\overrightarrow{a}$

अतः कुचालक गोले की गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र का मान :

$\displaystyle {{{\vec{E}}}_{net}}=\frac{\rho }{3{{\varepsilon }_{0}}}\overrightarrow{a}$ …..(1)

समीकरण (1) दर्शाती है कि गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र सभी बिंदुओं पर समान है व इसकी दिशा गोले के केंद्र (C) और गुहा के केंद्र (C_₁) को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश है।

इसी प्रकार, हम एक लंबे, एकसमान रूप से आवेशित कुचालक बेलन के भीतर स्थित बेलनाकार गुहा के में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कर सकते हैं, जिसकी आयतन आवेश घनता ρ C/m³ है।

यदि बेलनाकार गुहा के अक्ष और बेलन के अक्ष के मध्य की दूरी “a” है, तो, एक कुचालक गोले की गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र के उपरोक्त विश्लेषण के आधार पर, बेलनाकार गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता निम्न प्रकार से दी जाती है :

$\displaystyle \vec{E}=\frac{\rho }{2{{\varepsilon }_{0}}}\overrightarrow{a}$

कुचालक गोले की गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र

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