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विद्युत क्षेत्र की तीव्रता एवं विद्युत विभव के मध्य संबंध

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता एवं विद्युत विभव के मध्य संबंध :- परिभाषा से, दो बिन्दुओं A और B के मध्य विभवान्तर इस प्रकार दिया जाता है :

$\displaystyle {{V}_{B}}-{{V}_{A}}=\frac{{{W}_{AB}}}{{{q}_{o}}}$ …..(1)

यदि बिंदु A और B एक दूसरे के अत्यंत निकट ( $\displaystyle \overrightarrow{dr}$ ) स्थित हों, तब

$\displaystyle {{V}_{B}}-{{V}_{A}}=dV$

$\displaystyle \Rightarrow dV=\frac{{{W}_{AB}}}{{{q}_{o}}}=\frac{\left( \overrightarrow{{{F}_{ext}}} \right).\left( \overrightarrow{dr} \right)}{{{q}_{o}}}$

$\displaystyle \Rightarrow dV=\frac{\left( -{{q}_{o}}\overrightarrow{E} \right).\left( \overrightarrow{dr} \right)}{{{q}_{o}}}$

$\displaystyle dV=-\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dr}$ …..(2)

समीकरण (2) का समाकलन करने पर,

$\displaystyle \int{dV=-\int{\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dr}}}$

$\displaystyle V=-\int\limits_{\infty }^{r}{\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dr}}$ …..(3)

समीकरण (2) में, अल्प विस्थापन ( $\displaystyle \overrightarrow{dr}$ ) और विद्युत क्षेत्र ( $\displaystyle \overrightarrow{E}$ ) को इस प्रकार लिखा जा सकता है,

$\displaystyle \overrightarrow{dr}=dx\widehat{i}+dy\widehat{j}+dz\widehat{k}$ …..(4)

$\displaystyle \overrightarrow{E}={{E}_{x}}\widehat{i}+{{E}_{y}}\widehat{j}+{{E}_{z}}\widehat{k}$ …..(5)

समीकरण (2) में समीकरण (4) और (5) का उपयोग करने पर :-

$\displaystyle dV=-\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dr}=-\left( {{E}_{x}}\widehat{i}+{{E}_{y}}\widehat{j}+{{E}_{z}}\widehat{k} \right).\left( dx\widehat{i}+dy\widehat{j}+dz\widehat{k} \right)$

$\displaystyle dV=-\left( {{E}_{x}}dx+{{E}_{y}}dy+{{E}_{z}}dz \right)$ …..(6)

अब विद्युत विभव को आंशिक अवकलन के रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है :-

$\displaystyle dV=\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz$ …..(7)

समीकरण (6) और (7) की तुलना करने पर,

$\displaystyle {{E}_{x}}=-\frac{\partial V}{\partial x}\text{, }{{E}_{y}}=-\frac{\partial V}{\partial y},\text{ }{{E}_{z}}=-\frac{\partial V}{\partial z}$

E_x , E_y और E_z के मान समीकरण (5) में रखने पर,

$\displaystyle \overrightarrow{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}\widehat{i}-\frac{\partial V}{\partial y}\widehat{j}-\frac{\partial V}{\partial z}\widehat{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{E}=-\left( \frac{\partial }{\partial x}\widehat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\widehat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\widehat{k} \right)V$

$\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\nabla }\text{ V}$ …..(8)

समीकरण (8) दर्शाती है कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता विद्युत विभव की ऋणात्मक प्रवणता (ढाल) (negative gradient) के बराबर होती है।

यहाँ $\displaystyle \overrightarrow{\nabla }=del\text{ }operator$ है।

$\displaystyle \vec{\nabla }\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=\left( \frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k} \right)$

इसे nabla प्रतीक ∇ द्वारा दर्शाया गया है और यह सदिश कलन (vector calculus) में उपयोग किया जाने वाला एक सदिश अवकलन संकारक (vector differential operator) है।

विशेष स्थितियां :

समीकरण (2) से,

$\displaystyle dV=-\vec{E}.\overrightarrow{dr}=-Edrcos\theta$

(i). यदि हम विद्युत क्षेत्र की दिशा में चलते हैं (θ = 0°)

$\displaystyle dV=-Edrcos0=-Edr=-ve$

विद्युत क्षेत्र ( $\displaystyle {\vec{E}}$ ) की दिशा में विद्युत विभव घटता है।

(ii). यदि हम विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में चलते हैं (θ = 180°)

$\displaystyle dV=-Edrcos180=-Edr\left( -1 \right)=Edr=+ve$

विद्युत क्षेत्र ( $\displaystyle {\vec{E}}$ ) की विपरीत दिशा में विद्युत विभव बढ़ता है।

(iii). यदि हम विद्युत क्षेत्र के लंबवत चलते हैं (θ = 90°)

$\displaystyle dV=-Edrcos90=-Edr\left( 0 \right)=0$

$\displaystyle \Rightarrow V=constant$

यदि हम विद्युत क्षेत्र के लंबवत चलते हैं तो विद्युत विभव अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण 1.

आकाश में एक बिंदु पर विद्युत विभव V = 3x + 4y + 5z द्वारा दिया जाता है। विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए एक व्यंजक ज्ञात कीजिए। क्या विद्युत क्षेत्र एकसमान है या असमान ? बिंदु (1,1,1) पर रखे 2C आवेश द्वारा अनुभव किया गया बल ज्ञात कीजिए।

हल :

$\displaystyle \vec{E}=-\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\widehat{k} \right)=-\left[ \frac{\partial }{\partial x}(3x+4y+5z)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}(3x+4y+5z)\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}(3x+4y+5z)\widehat{k} \right]$

$\displaystyle \Rightarrow \vec{E}=-\left[ \frac{\partial }{\partial x}(3+0+0)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}(0+4+0)\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}(0+0+5)\widehat{k} \right]$

$\displaystyle \therefore \vec{E}=-3\hat{i}-4\hat{j}-5\widehat{k}$

यह विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए वांछित अभिव्यक्ति है। यहाँ हम पाते हैं कि यह अभिव्यक्ति स्थिति (x,y,z) का फलन नहीं है, इसलिए यह एक समान विद्युत क्षेत्र है।

2C आवेश पर बल :

$\displaystyle F=q\left| {\vec{E}} \right|=2\sqrt{9+16+25}=10\sqrt{2}Newton$

उदाहरण 2.

आकाश में एक बिंदु पर विद्युत विभव V = x² + y² + z² द्वारा दिया जाता है। विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए एक व्यंजक ज्ञात कीजिए। क्या विद्युत क्षेत्र एकसमान है या असमान ?

हल :

$\displaystyle \vec{E}=-\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\widehat{k} \right)=-\left[ \frac{\partial }{\partial x}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\widehat{k} \right]$

$\displaystyle \Rightarrow \vec{E}=-\left[ \frac{\partial }{\partial x}(2x+0+0)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}(0+2y+0)\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}(0+0+2z)\widehat{k} \right]$

$\displaystyle \therefore \vec{E}=-2x\hat{i}-2y\hat{j}-2z\hat{k}$

यह एक असमान विद्युत क्षेत्र है क्योंकि यह स्थिति (x,y,z) पर निर्भर करता है।

उदाहरण 3.

आकाश में एक बिंदु पर विद्युत विभव V = xy + yz + zx द्वारा दिया जाता है। विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए एक व्यंजक ज्ञात कीजिए। क्या विद्युत क्षेत्र एकसमान है या असमान ?

हल :

$\displaystyle \vec{E}=-\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\hat{z} \right)=-\left[ \frac{\partial }{\partial x}(xy+yz+zx)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}(xy+yz+zx)\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}(xy+yz+zx)\hat{z} \right]$

$\displaystyle \Rightarrow \vec{E}=-\left[ \frac{\partial }{\partial x}(y+0+z)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}(x+z+0)\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}(0+y+x)\hat{z} \right]$

$\displaystyle \therefore \vec{E}=-(y+z)\hat{i}-(x+z)\hat{j}-(y+x)\widehat{k}$

यह एक असमान विद्युत क्षेत्र है।

उदाहरण 4.

निम्नलिखित चित्र में, बिंदु A से बिंदु B तक जाने पर विद्युत विभव किस प्रकार परिवर्तित होता है :-

हल :

(i) जैसे ही हम A से B की ओर बढ़ते हैं, विद्युत विभव पहले मध्य बिंदु O तक घटता है तथा फिर बिंदु O से B तक बढ़ता है।

(ii) A से B तक पहले विद्युत विभव बढ़ता है और फिर घटता है।

(iii) A से B तक विद्युत विभव लगातार घटता जाता है।

उदाहरण 5.

निम्न चित्रों में बिन्दुओं A, B, C और D के विद्युत विभव की तुलना करें :

हल :

चित्र (a)

चूँकि विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है, इसलिए

V_A > V_B > V_C

चित्र (b)

V_A > V_B= V_D > V_C

उदाहरण 6.

एकसमान विद्युत क्षेत्र x-अक्ष के अनुदिश है। दो बिंदुओं A (2m, 3m) और B (4m, 8m) के मध्य विभवांतर V_A– V_B = 10 V है। विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए।

हल :

चूँकि $\displaystyle E=-\frac{dV}{dr}$ , यहाँ -ve चिन्ह यह दर्शाता है कि विद्युत विभव, विद्युत क्षेत्र की दिशा में घटता है। परिमाण में हम लिख सकते हैं :

$\displaystyle E=\frac{\Delta V}{\Delta r}$

यहाँ ΔV = 10 V और Δr = 4 – 2 = 2m (क्योंकि विद्युत क्षेत्र केवल x-अक्ष के अनुदिश है), अतः

$\displaystyle E=\frac{10}{2}=5\text{ }V/m$

उदाहरण 7.

दिए गए विद्युत क्षेत्र $\displaystyle \overrightarrow{E}=2x\widehat{i}+3y\widehat{j}$ के लिए, बिंदु (x, y) पर विद्युत विभव ज्ञात कीजिए यदि मूल बिंदु पर विभव (V) 5 वोल्ट है।

हल :-

क्यूंकि $\displaystyle dV=-\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dr}$ , अतः

$\displaystyle \int\limits_{5}^{V}{dV}=-\int\limits_{(0,0)}^{(x,y)}{\vec{E}.\overrightarrow{dr}}=-\int\limits_{(0,0)}^{(x,y)}{\left( {{E}_{x}}\widehat{i}+{{E}_{y}}\widehat{j} \right).\left( dx\widehat{i}+dy\widehat{j} \right)}$