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इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र

(The de Broglie wavelength associated with an electron)

इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र | The de Broglie wavelength associated with an electron :-

माना किसी इलेक्ट्रॉन को V वोल्ट के विभवांतर से विरामावस्था से त्वरित किया जाता है, तब

इलेक्ट्रॉन द्वारा अर्जित गतिज ऊर्जा $\displaystyle =\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$

इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $\displaystyle =eV$

$\displaystyle \frac{1}{2}m{{v}^{2}}=eV$

$\displaystyle \Rightarrow v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}$

यदि इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य λ हो, तब…

$\displaystyle \lambda =\frac{h}{mv}=\frac{h}{m\sqrt{2eV/m}}=\frac{h}{\sqrt{2meV}}$

$\displaystyle \Rightarrow \lambda =\frac{6.63\times {{10}^{-34}}}{\sqrt{2\times 9\times {{10}^{-31}}\times 1.6\times {{10}^{-19}}\times V}}=\frac{12.27}{\sqrt{V}}\times {{10}^{-10}}m$

$\displaystyle \lambda =\frac{12.27}{\sqrt{V}}{{A}^{\circ }}$

इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र व अन्य आवेशित कणों की

डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र

विभावांतर V से त्वरित किसी आवेशित कण की ऊर्जा निम्न सम्बन्ध द्वारा दी जाती है,

$\displaystyle E=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=qV$

अतः डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य

$\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mE}}=\frac{h}{\sqrt{2mqV}}$

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने पर,

इलेक्ट्रॉन के लिए (m = 9.1 × 10^-31kg, q = 1.6 × 10^-19 C)

$\displaystyle {{\lambda }_{electron}}=\frac{12.27}{\sqrt{V}}{\AA}$

प्रोटॉन के लिए (m = 1.67 × 10^-27kg, q = 1.6 × 10^-19 C)

$\displaystyle {{\lambda }_{proton}}=\frac{0.286}{\sqrt{V}}{\AA}$

ड्यूट्रॉन (₁H²) के लिए (m = 2 × m_p= 2 × 1.67 × 10^-27kg, q = 1.6 × 10^-19 C)

$\displaystyle {{\lambda }_{deutron}}=\frac{0.202}{\sqrt{V}}{\AA}$

अल्फा कण के लिए (m = 4 × m_p = 4 × 1.67 × 10^-27kg, q = 2 × 1.6 × 10^-19 C)

$\displaystyle {{\lambda }_{\alpha -particle}}=\frac{0.101}{\sqrt{V}}{\AA}$

उदाहरण 1

समान ऊर्जा के इलेक्ट्रॉन और फोटॉन की तरंगदैर्ध्य के मध्य संबंध है :-

(A) $\displaystyle {{\lambda }_{ph}}>{{\lambda }_{e}}$

(B) $\displaystyle {{\lambda }_{ph}}<{{\lambda }_{e}}$

(D) $\displaystyle \frac{{{\lambda }_{e}}}{{{\lambda }_{ph}}}=\text{constant}$

हल :

हम जानते हैं की एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य,

$\displaystyle {{\lambda }_{e}}=\frac{h}{\sqrt{2{{m}_{e}}E}}$ …..(1)

इसी प्रकार फोटॉन के लिए,

$\displaystyle E=h\nu =\frac{hc}{{{\lambda }_{ph}}}$ …..(2)

समीकरण (1) में इस मान का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है,

$\displaystyle {{\lambda }_{e}}=\frac{h}{\sqrt{2{{m}_{e}}\frac{hc}{{{\lambda }_{ph}}}}}=\sqrt{\frac{h{{\lambda }_{ph}}}{2{{m}_{e}}c}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{\lambda }_{ph}}=\frac{2{{m}_{e}}c}{h}{{\left( {{\lambda }_{e}} \right)}^{2}}$

अब राशी \displaystyle \frac{2{{m}_{e}}c}{h}$ की कोटी लगभग 10¹¹है, अतः $\displaystyle {{\lambda }_{ph}}>{{\lambda }_{e}}$ .

अतः विकल्प (A) सही है।

उदाहरण 2

एक प्रोटॉन और फोटॉन दोनों की ऊर्जा E = 100 keV समान है। यदि प्रोटॉन और फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य λ₁ और λ₂ हों, तब अनुपात λ₁/λ₂ समानुपाती है :-

(A) E^-1/2

(B) E^1/2

(D) E

हल :-

एक प्रोटॉन से संबंधित डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य,

$\displaystyle {{\lambda }_{1}}=\frac{h}{\sqrt{2{{m}_{p}}E}}$ …..(1)

और फोटॉन के लिए

$\displaystyle E=h\nu =\frac{hc}{{{\lambda }_{2}}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{\lambda }_{2}}=\frac{hc}{E}$ …..(2)

समीकरण (1) को (2) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\displaystyle \frac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}}=\frac{h}{\sqrt{2{{m}_{p}}E}}\times \frac{E}{hc}=\frac{1}{c}\sqrt{\frac{E}{2{{m}_{p}}}}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}}\propto {{E}^{1/2}}$

अतः विकल्प (B) सही है।

उदाहरण 3

एक फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य से दोगुनी है। यदि इलेक्ट्रॉन की चाल v_e = c/100 हो, तब –

$\displaystyle (A)\text{ }\frac{{{E}_{e}}}{{{E}_{p}}}={{10}^{-4}}$

$\displaystyle (B)\text{ }\frac{{{E}_{e}}}{{{E}_{p}}}={{10}^{-2}}$

$\displaystyle (C)\text{ }\frac{{{p}_{e}}}{{{m}_{e}}c}={{10}^{-2}}$

$\displaystyle (D)\text{ }Both\text{ }(B)\text{ }and\text{ }(C)$

हल :-

$\displaystyle {{\lambda }_{e}}=\frac{h}{{{p}_{e}}}=\frac{h}{{{m}_{e}}{{v}_{e}}}=\frac{h}{{{m}_{e}}\left( \frac{c}{100} \right)}=\frac{100h}{{{m}_{e}}c}$