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चकती के किनारे पर विद्युत विभव

चकती के किनारे पर विद्युत विभव :- आइए हम त्रिज्या R की एक चकती के किनारे पर विद्युत विभव की गणना करें, जो एक समान रूप से आवेशित है और इसका पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है।

मान A वह बिंदु है जहाँ विद्युत विभव ज्ञात करना है जो की व्यास AB के अंत में स्थित है। A को केंद्र मानकर हम ऊपर चित्र में दिखाए अनुसार त्रिज्या r व (r+dr) की दो चाप खींचते हैं। चापों के मध्य मोटाई dr वाले अत्यंत छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

$\displaystyle dA=r(2\theta )dr=2\theta rdr$

जहाँ 2θ इस क्षेत्रफल अल्पांश PQ द्वारा बिंदु A पर बनाया गया कोण है। अल्पांश PQ के कारण बिंदु A पर विद्युत विभव :

$\displaystyle dV=k\frac{dq}{r}=k\frac{\sigma dA}{r}=k\frac{\sigma 2\theta rdr}{r}=2k\sigma \theta dr$

ΔAPB में,

$\displaystyle r=2Rcos\theta$

$\displaystyle \Rightarrow dr=-2Rsin\theta d\theta$

अतः

$\displaystyle dV=2k\sigma \theta (-2Rsin\theta d\theta )=-4Rk\sigma \theta sin\theta d\theta$

संपूर्ण चकती के कारण बिंदु A पर कुल विद्युत विभव,

$\displaystyle V=\int{dV=}-4Rk\sigma \int\limits_{\pi /2}^{0}{\theta sin\theta d\theta }$

Integration by parts, अर्थात्,

$\displaystyle \int{(uv)dx}=u\int{vdx}-\int{\left\{ \frac{du}{dx}\int{vdx} \right\}dx}$

का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं,

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ \theta \int{sin\theta d\theta }-\int{\left\{ \frac{d\theta }{d\theta }\int{sin\theta d\theta } \right\}d\theta } \right]_{\pi /2}^{0}$

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ \theta \left( -cos\theta \right)-\int{1.\left\{ -cos\theta \right\}d\theta } \right]_{\pi /2}^{0}$

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ -\theta cos\theta +\int{cos\theta d\theta } \right]_{\pi /2}^{0}$

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ -\theta cos\theta +sin\theta \right]_{\pi /2}^{0}$

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ \left( -0cos0+sin0 \right)-\left( -\frac{\pi }{2}cos\frac{\pi }{2}+sin\frac{\pi }{2} \right) \right]$

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ \left( -0+0 \right)-\left( -\frac{\pi }{2}\times 0+1 \right) \right]$

$\displaystyle V=-4Rk\sigma \left[ -1 \right]$

$\displaystyle \therefore V=4Rk\sigma =\frac{\sigma R}{\pi {{\varepsilon }_{0}}}$

चकती के किनारे पर विद्युत विभव

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