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विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तीव्रता

विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तीव्रता प्रति एकांक समय में प्रति एकांक अभिलंबवत् क्षेत्रफल से पारित होने वाली औसत उर्जा है । यह तरंग की शक्ति का मापक है और तरंग के आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।

माना विद्युत चुम्बकीय तरंगों के मार्ग में एक काल्पनिक बेलन इस प्रकार स्थित है कि बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल ΔA, विद्युत चुम्बकीय तरंग के प्रसार की दिशा के लम्बवत है।

यदि u_avg. औसत ऊर्जा घनत्व हो, तब काल्पनिक बेलन में निहित कुल ऊर्जा ΔU होगी :

$\displaystyle \Delta U={{u}_{avg.}}(c\Delta t)(\Delta A)$

इस काल्पनिक बेलन के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तीव्रता,

$\displaystyle I=\frac{\Delta U}{\Delta A\times \Delta t}={{u}_{avg.}}c$ …..(1)

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए,

$\displaystyle {{u}_{avg.}}={{\left( {{u}_{E}}+{{u}_{B}} \right)}_{avg.}}={{\left( \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{2}\frac{{{B}^{2}}}{{{\mu }_{0}}} \right)}_{avg.}}$

$\displaystyle {{u}_{avg.}}={{\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{0}^{2}{{\sin }^{2}}(kx-\omega t)+\frac{1}{2}\frac{B_{0}^{2}{{\sin }^{2}}(kx-\omega t)}{{{\mu }_{0}}} \right]}_{avg.}}$

(As $\displaystyle E={{E}_{0}}\sin (kx-\omega t)\text{ }and\text{ }B={{B}_{0}}\sin (kx-\omega t)$ )

$\displaystyle {{u}_{avg.}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{0}^{2}{{\left[ {{\sin }^{2}}(kx-\omega t) \right]}_{avg.}}+\frac{1}{2}\frac{B_{0}^{2}}{{{\mu }_{0}}}{{\left[ {{\sin }^{2}}(kx-\omega t) \right]}_{avg.}}$

$\displaystyle {{u}_{avg.}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{0}^{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{B_{0}^{2}}{{{\mu }_{0}}}\times \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow {{u}_{avg.}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}{{\left( \frac{{{E}_{0}}}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\left( \frac{{{B}_{0}}}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{u}_{avg.}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}+\frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}}$

अतः तीव्रता,

$\displaystyle I={{u}_{avg.}}c=\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}+\frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}} \right]\times c$ …..(2)

विद्युत क्षेत्र के पदों में,

$\displaystyle I=\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}\frac{E_{rms}^{2}}{{{c}^{2}}} \right]\times c=\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}\frac{E_{rms}^{2}}{\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \right)} \right]\times c$

$\displaystyle \Rightarrow I=\frac{1}{2}c{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}+\frac{1}{2}c{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}$

$\displaystyle \therefore I=c{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}=\frac{1}{2}c{{\varepsilon }_{0}}E_{0}^{2}$ …..(3)

चुंबकीय क्षेत्र के पदों में,

$\displaystyle I=\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}E_{rms}^{2}+\frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}} \right]\times c=\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}B_{rms}^{2}+\frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}} \right]\times c$

$\displaystyle \Rightarrow I=\left[ \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \right)\times B_{rms}^{2}+\frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}} \right]\times c=\left[ \frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}}+\frac{1}{2}\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}} \right]\times c$

$\displaystyle \therefore I=\frac{B_{rms}^{2}}{{{\mu }_{0}}}\times c=\frac{1}{2}\frac{B_{0}^{2}}{{{\mu }_{0}}}\times c$ …..(4)

Poynting वेक्टर के औसत मान के रूप में विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तीव्रता

विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तीव्रता को Poynting वेक्टर के औसत मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

$\displaystyle I=\left\langle \left| {\vec{S}} \right| \right\rangle =\left\langle \frac{EB}{{{\mu }_{0}}} \right\rangle$ …..(5)

$\displaystyle \Rightarrow I=\left\langle \frac{\left[ {{E}_{0}}\sin (kx-\omega t) \right]\left[ {{B}_{0}}\sin (kx-\omega t) \right]}{{{\mu }_{0}}} \right\rangle$

$\displaystyle I=\frac{{{E}_{0}}{{B}_{0}}}{{{\mu }_{0}}}\left\langle {{\sin }^{2}}(kx-\omega t) \right\rangle$

$\displaystyle I=\frac{{{E}_{0}}{{B}_{0}}}{{{\mu }_{0}}}\times \frac{1}{2}$

$\displaystyle I=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\times \frac{{{E}_{0}}}{\sqrt{2}}\times \frac{{{B}_{0}}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\times {{E}_{rms}}\times {{B}_{rms}}$