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वर्ण विपथन क्या है ?

वर्ण विपथन क्या है :- किसी श्वेत वस्तु का श्वेत प्रतिबिम्ब बनाने में लेंस की असमर्थता को वर्ण विपथन कहते हैं। एक श्वेत वस्तु का प्रतिबिम्ब रंगीन और धुंधला होता है, क्योंकि लेंस की फोकल लंबाई लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक पर निर्भर करती है।

कॉची (Cauchy’s formula) के सूत्र $\displaystyle n=A+\frac{B}{{{\lambda }^{2}}}+\frac{C}{{{\lambda }^{4}}}+...$ , के अनुसार एक लेंस का अपवर्तनांक विभिन्न रंगों या प्रकाश की भिन्न-भिन्न तरंग दैर्ध्य के लिए भिन्न-भिन्न होता है। बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक अधिकतम तथा लाल प्रकाश के लिए यह न्यूनतम होता है।

लेंस निर्माता सूत्र से, $\displaystyle \frac{1}{f}=(n-1)\left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$

⇒ $\displaystyle f\propto \frac{1}{n-1}$

अत: लाल रंग के लिए लेंस की फोकस दूरी अधिकतम तथा बैंगनी रंग के लिए न्यूनतम होती है।

⇒ f_Violet< f_Indigo< f_Blue< f_Green< f_Yellow< f_Orange< f_Red

वर्ण विपथन के प्रकार (वर्ण विपथन क्या है?)

वर्ण विपथन दो प्रकार का होता है :-

अक्षीय/अनुदैर्ध्य वर्ण विपथन और
पार्श्व वर्ण विपथन

1. अक्षीय/अनुदैर्ध्य वर्ण विपथन

अक्षीय वर्ण विपथन मुख्य अक्ष के अनुदिश विभिन्न रंगों की छवियों का प्रसार है ।

इसकी गणना दो स्थितियों में की जा सकती है :-

स्थिति I :- जब वस्तु अनंत पर हो

अक्षीय वर्ण विपथन, X = f_R – f_V

लेंस निर्माता सूत्र का उपयोग करने पर, $\displaystyle \frac{1}{f}=(n-1)\left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$

अथवा $\displaystyle \frac{1}{f(n-1)}=\left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]..........(1)$

जहाँ f व n माध्य रंग (अर्थात पीले रंग) के लिए लेंस की क्रमशः फोकस दूरी और अपवर्तनांक हैं।

लाल रंग के लिए, $\displaystyle \frac{1}{{{f}_{R}}}=({{n}_{R}}-1)\left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$

समीकरण (1) से, $\displaystyle \left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$ का प्रयोग करने पर,

$\displaystyle \frac{1}{{{f}_{R}}}=\frac{({{n}_{R}}-1)}{f(n-1)}..........(2)$

बैंगनी रंग के लिए, $\displaystyle \frac{1}{{{f}_{V}}}=({{n}_{V}}-1)\left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$

समीकरण (1) से, $\displaystyle \left[ \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right]$ का प्रयोग करने पर,

$\displaystyle \frac{1}{{{f}_{V}}}=\frac{({{n}_{V}}-1)}{f(n-1)}..........(3)$

समीकरण (2) को समीकरण (3) में से घटाने पर,

$\displaystyle \frac{1}{{{f}_{V}}}-\frac{1}{{{f}_{R}}}=\frac{1}{f(n-1)}\left[ {{n}_{V}}-1-{{n}_{R}}+1 \right]$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{{{f}_{V}}}-\frac{1}{{{f}_{R}}}=\frac{{{n}_{V}}-{{n}_{R}}}{f(n-1)}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{{f}_{R}}-{{f}_{V}}}{{{f}_{V}}{{f}_{R}}}=\frac{{{n}_{V}}-{{n}_{R}}}{f(n-1)}$

अब संबंध, f_Vf_R = f² का उपयोग करते हुए

$\displaystyle \frac{{{f}_{R}}-{{f}_{V}}}{{{f}^{2}}}=\frac{{{n}_{V}}-{{n}_{R}}}{f(n-1)}$

$\displaystyle {{f}_{R}}-{{f}_{V}}=\left( \frac{{{n}_{V}}-{{n}_{R}}}{n-1} \right)f$

राशी, $\displaystyle \left( \frac{{{n}_{V}}-{{n}_{R}}}{n-1} \right)$ , कोणीय विक्षेपण क्षमता ω है, अतः

अक्षीय वर्ण विपथन, X = ωf

स्थिति II :- जब वस्तु लेंस से परिमित दूरी पर हो

इस स्थिती में अक्षीय वर्ण विपथन, X = v_R – v_V द्वारा दिया जाता है

लेंस सूत्र का उपयोग करने पर, $\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}$

लाल प्रतिबिम्ब के लिए, $\displaystyle \frac{1}{{{f}_{R}}}=\frac{1}{{{v}_{R}}}-\frac{1}{u}..........(4)$

और बैंगनी प्रतिबिम्ब के लिए, $\displaystyle \frac{1}{{{f}_{V}}}=\frac{1}{{{v}_{V}}}-\frac{1}{u}..........(5)$

समीकरण (4) को समीकरण (5) में से घटाने पर, $\displaystyle \frac{1}{{{f}_{V}}}-\frac{1}{{{f}_{R}}}=\left( \frac{1}{{{v}_{V}}}-\frac{1}{u} \right)-\left( \frac{1}{{{v}_{R}}}-\frac{1}{u} \right)$

अथवा $\displaystyle \frac{1}{{{f}_{V}}}-\frac{1}{{{f}_{R}}}=\frac{1}{{{v}_{V}}}-\frac{1}{{{v}_{R}}}$

$\displaystyle \frac{{{f}_{R}}-{{f}_{V}}}{{{f}_{V}}{{f}_{R}}}=\frac{{{v}_{R}}-{{v}_{V}}}{{{v}_{V}}{{v}_{R}}}$

अब संबंध f_R – f_V = ωf, f_R f_V = f² और v_V v_R = v² का उपयोग करने पर,

हम पाते हैं

$\displaystyle \frac{\omega f}{{{f}^{2}}}=\frac{{{v}_{R}}-{{v}_{V}}}{{{v}^{2}}}$

अक्षीय वर्ण विपथन, $\displaystyle {{v}_{R}}-{{v}_{V}}=\frac{\omega {{v}^{2}}}{f}$

जहाँ ω कोणीय विक्षेपण क्षमता , v माध्य (पीले) रंग के लिए प्रतिबिम्ब की दूरी और f लेंस की औसत फोकल लंबाई है ।

2. पार्श्व वर्ण विपथन

पार्श्व वर्ण विपथन मुख्य अक्ष के लंबवत प्रतिबिम्बों का प्रसार है।

पार्श्व वर्ण विपथन =

मुख्य अक्ष के लंबवत प्रतिबिम्बों का फैलाव =

लाल प्रतिबिम्ब की ऊँचाई – बैंगनी प्रतिबिम्ब की ऊँचाई

$\displaystyle \Rightarrow {{I}_{R}}-{{I}_{V}}=\frac{{{v}_{R}}O}{u}-\frac{{{v}_{V}}O}{u}$

$\displaystyle \Rightarrow {{I}_{R}}-{{I}_{V}}=({{v}_{R}}-{{v}_{V}})\frac{O}{u}$

किन्तु $\displaystyle {{v}_{R}}-{{v}_{V}}=\frac{\omega {{v}^{2}}}{f}$

∴ पार्श्व वर्ण विपथन $\displaystyle {{I}_{R}}-{{I}_{V}}=\left( \frac{\omega {{v}^{2}}}{f} \right)\frac{O}{u}$

वर्ण विपथन क्या है ?

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वर्ण विपथन के प्रकार (वर्ण विपथन क्या है?)

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