त्रुटि विश्लेषण

 

त्रुटि (त्रुटि विश्लेषण) :- किसी भी मापक यंत्र द्वारा किए गए प्रत्येक माप के परिणाम में कुछ अनिश्चितता होती है। इस अनिश्चितता को त्रुटि कहा जाता है।

वास्तविक मान और मापित मान :- माप में त्रुटियों की अवधारणा को समझने के लिए, दो पदों “वास्तविक मान” और “मापित मान” को जानना आवश्यक है। प्रायोगिक साधनों से वास्तविक मान का पता लगाना असंभव है। इसे मापित मानों की अनंत संख्या के औसत मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अतः “त्रुटि को मापित मान और वास्तविक मान के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है“।

परिशुद्धता और यथार्थता

(त्रुटि विश्लेषण)

यथार्थता का अर्थ है “वास्तविक मान और मापित मान की निकटता” जबकि परिशुद्धता का अर्थ है “समान परिस्थितियों में एक ही भौतिक राशि के माप की एक श्रृंखला की निकटता“। परिशुद्धता हमें बताती है कि भौतिक राशि को किस विभेदन या सीमा तक मापा गया है। परिशुद्धता मापक यंत्र के अल्पतमांक से संबंधित है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक छड की लंबाई का वास्तविक मान 3.678 सेमी है और भिन्न-भिन्न विभेदन वाले दो यंत्र, क्रमशः 1 (कम परिशुद्ध) और 2 (अधिक परिशुद्ध) दशमलव स्थानों तक उपयोग किए जाते हैं। यदि पहला यंत्र लंबाई 3.5 सेमी और दूसरा 3.38 सेमी मापता है, तो पहला मापन (3.5 सेमी) अधिक याथार्थ व कम परिशुद्ध है जबकि दूसरा मापन (3.38 सेमी) अधिक परिशुद्ध व कम याथार्थ है।

त्रुटियों के प्रकार (त्रुटि विश्लेषण) :-

माप में त्रुटियों को दो प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है …

1. क्रमबद्ध त्रुटियां और
2. यादृच्छिक त्रुटियां

क्रमबद्ध त्रुटियां :- क्रमबद्ध त्रुटियां सामान्यतया मापक यंत्रों के कारण होती हैं जिनका गलत तरीके से अंशांकन किया गया है या जो गलत तरीके से उपयोग किए जाते हैं। ये त्रुटियां एक दिशा में होती हैं, धनात्मक या ऋणात्मक। क्रमबद्ध त्रुटियों को आगे तीन श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है: –

1. यंत्रगत त्रुटियाँ:- ये त्रुटियाँ मापक यंत्र के अपूर्ण डिज़ाइन, गलत अंशांकन या शून्य त्रुटि के कारण होती हैं। उदाहरण के लिए अपर्याप्त रूप से अंशांकित थर्मामीटर, मुख्य पैमाने के शून्य चिह्न से मेल न खाने वाले वर्नियर स्केल का शून्य चिह्न, एक सिरे पर घिसा-पिटा मीटर स्केल आदि। इन त्रुटियों को अधिक सटीक उपकरणों का उपयोग करके कम किया जा सकता है।
2. प्रयोगात्मक तकनीक में अपूर्णता के कारण त्रुटियां :- यदि माप की तकनीक सटीक नहीं है (उदाहरण के लिए थर्मामीटर को बगल के नीचे रखकर मानव शरीर का तापमान मापना जिसके परिणामस्वरूप वास्तविक से कम तापमान प्राप्त होगा) तो परिणाम गलत प्राप्त होंगे। अन्य कारक जैसे तापमान में परिवर्तन, वायु का वेग, आर्द्रता आदि भी त्रुटि में योगदान करते हैं।
3. व्यक्तिगत त्रुटियाँ :- व्यक्तिगत त्रुटि का तात्पर्य पर्यवेक्षक की गलती के परिणामस्वरूप उत्पन्न दोषों से है, जैसे कि अवलोकन करने में लापरवाही, उपकरण की उचित सेटिंग की कमी या व्यक्तिगत पूर्वाग्रह।

व्यवस्थित त्रुटियों को दूर करने के लिए :-

• प्रयोगात्मक तकनीकों में सुधार करें
• बेहतर उपकरणों का चयन करें
• जहां तक ​​संभव हो व्यक्तिगत पूर्वाग्रहों को दूर करें।

यादृच्छिक त्रुटियाँ :- वे त्रुटियाँ जो चिन्ह और आकार के सापेक्ष यादृच्छिक होती हैं और अनियमित रूप से घटित होती हैं, यादृच्छिक त्रुटियाँ कहलाती हैं।

यादृच्छिक त्रुटियों के कारण :- प्रायोगिक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव जैसे तापमान में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव, आपूर्ति वोल्टेज में उतार-चढ़ाव, प्रयोगात्मक सेट-अप के यांत्रिक कंपन आदि।

अल्पतमांक (Least Count) :- सबसे छोटा मान जिसे मापक यंत्र द्वारा मापा जा सकता है, उसका अल्पतमांक कहलाता है। सभी मापित मान, मापक यंत्र के अल्पतमांक तक ही सही होते हैं।

अल्पतमांक त्रुटि :- एक मीटर पैमाने पर विचार करें जिसे हम सामान्यतः उपयोग करते हैं। इसकी अल्पतमांक क्या है? इसका सबसे छोटा भाग मिलीमीटर (mm) में होता है। अत: इसका अल्पतमांक 1 mm यानि 10^-3 m यानि 0.001 m है। स्पष्ट रूप से, इस मीटर स्केल का उपयोग 10^-3 m से 1 m तक की लंबाई मापने के लिए किया जा सकता है।

मान लीजिए कि किसी छड के एक टुकड़े को मीटर छड का उपयोग करके मापा जाता है और माप का परिणाम 0.587 m (= 58.7 cm = 587 mm) आता है। आइए माप के परिणाम को (580 mm + 7 mm) के रूप में लिखें। अब यहाँ पाठ्यांक का पहला भाग, अर्थात 580 mm निस्संदेह सही है, क्योंकि हम 100% सुनिश्चित हैं कि लंबाई 580 mm से अधिक है, किन्तु हमारे पाठ्यांक का अंतिम भाग, अर्थात 7 mm संदिग्ध है, क्योंकि हमारे पैमाने का अल्पतमांक 1 mm है, तो अंतिम भाग 8 mm या 6 mm भी हो सकता है। इसलिए पाठ्यांक को इस प्रकार लिखना सही होगा x = (0.587 ± 0.001) m

अतः हम अल्पतमांक त्रुटि को “मापक यंत्र के अल्पतमांक के कारण उत्पन्न होने वाली त्रुटि” के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।

निरपेक्ष त्रुटि, सापेक्ष त्रुटि व प्रतिशत त्रुटि

(त्रुटि विश्लेषण)

 

निरपेक्ष त्रुटि (Absolute Error) (|Δa|) :- किसी भौतिक राशि के वास्तविक मान और मापित मान के बीच के अंतर को निरपेक्ष त्रुटि कहा जाता है। मान लीजिए कि एक भौतिक राशि को n बार मापा जाता है और मापे गए मान a₁, a₂, a₃……….a_n हैं। इन मानों का समांतर माध्य (a_m) है

यदि भौतिक राशि का वास्तविक मान नहीं दिया जाता है तो माध्य मान (a_m) को वास्तविक मान के रूप में लिया जा सकता है।

तब मापित मानों में निरपेक्ष त्रुटियां हैं –

|Δa₁| = |a_m – a₁|

|Δa₂| = |a_m – a₂|

……………

……………

|Δa_n| = |a_m – a_n|

सभी निरपेक्ष त्रुटियों के अंकगणितीय माध्य को भौतिक राशि a के मान में माध्य निरपेक्ष त्रुटि (Δa)_m के रूप में परिभाषित किया गया है

अतः यदि किसी राशि का मापित मान ‘a’ हो, राशि का वास्तविक मान a_m(a_t = a_m) हो और माप में त्रुटि Δa हो, तो मापित मान (a) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

a = a_m ± Δa

या दूसरे शब्दों में, यदि हम एक ही माप करते हैं, तो हमें जो मान मिलता है वह निम्न परास में होगा …

(a_m – Δa_m)  ≤   a  ≤  (a_m + Δa_m)

सापेक्ष या भिन्नात्मक त्रुटि (Relative or Fractional Error):- इसे माध्य निरपेक्ष त्रुटि (Δa_m) व वास्तविक मान या माध्य मान (a_m) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्रतिशत त्रुटि (Percentage Error):- जब सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है, तो इसे प्रतिशत त्रुटि के रूप में जाना जाता है।

प्रतिशत त्रुटि = सापेक्ष त्रुटि × 100

अथवा