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आंशिक रूप से परावैद्युत पदार्थ की उपस्थिति में एक समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता

आंशिक रूप से परावैद्युत पदार्थ की उपस्थिति में एक समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता :- माना एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों का क्षेत्रफल A तथा इनके मध्य की दूरी d है। t मोटाई (t < d) व K परावैद्युतांक की एक परावैद्युत पट्टिका चित्रानुसार समान्तर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के मध्य रखी है।

माना प्लेटों पर आवेश ±Q है जिससे प्लेटों के मध्य वायु स्थान में विद्युत क्षेत्र E₀ उत्पन्न होता है। इस विद्युत क्षेत्र E₀ के कारण परावैद्युत पदार्थ के अणु ध्रुवित हो जाते हैं और परावैद्युत पदार्थ में E₀ के विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र E_p प्रेरित होता है। अतः परावैद्युत पदार्थ में प्रभावी विद्युत क्षेत्र E₀ – E_p हो जाता है किन्तु वायु स्थान (d – t) में विद्युत क्षेत्र E₀ ही रहता है।

संधारित्र की प्लेटों के मध्य विभवान्तर (V),

$\displaystyle V={{E}_{0}}(d-t)+Et$

किन्तु $\displaystyle \frac{{{E}_{0}}}{E}=K$

$\displaystyle \therefore E=\frac{{{E}_{0}}}{K}$

$\displaystyle \therefore V={{E}_{0}}(d-t)+\frac{{{E}_{0}}}{K}t$

$\displaystyle \Rightarrow V={{E}_{0}}\left[ d-t\text{+}\frac{t}{K} \right]$

संधारित्र की प्लेटों के मध्य वायु स्थान में विद्युत क्षेत्र E₀,

$\displaystyle {{E}_{0}}=\frac{Q}{A{{\varepsilon }_{0}}}$

$\displaystyle \therefore V=\frac{Q}{A{{\varepsilon }_{0}}}\left[ d-t\text{+}\frac{t}{K} \right]$

अतः धारिता C ,

$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{A{{\varepsilon }_{0}}}\left[ d-t\text{+}\frac{t}{K} \right]}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-t\text{+}\frac{t}{K}}$

$\displaystyle \therefore C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-t\left( 1-\frac{1}{K} \right)}$ …..(1)

समीकरण (1) आंशिक रूप से परावैद्युत पदार्थ की उपस्थिति में एक समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता का व्यंजक है।

अब क्यूंकि K का मान सदैव एक से अधिक होता है, अतः $\displaystyle \left( 1-\frac{1}{K} \right)$ का मान सदैव धनात्मक होगा। इस प्रकार हम समीकरण (1) से देख सकते हैं की संधारित्र की प्लेटों के मध्य दूर d, आभासी रूप से $\displaystyle t\left( 1-\frac{1}{K} \right)$ कम हो जाती है। परिणामस्वरूप संधारित्र की धारिता बढ़ जाती है।

नोट :-

(1). यदि प्लेटों के मध्य सम्पूर्ण स्थान में परावैद्युत पदार्थ भर दिया जाए, अर्थात t = d तब,

$\displaystyle C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-d\left( 1-\frac{1}{K} \right)}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-d+\frac{d}{K}}=K\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d}$ …..(2)

(2). यदि एक आवेशित संधारित्र की प्लेटों के मध्य सम्पूर्ण स्थान में परावैद्युत पदार्थ भर दिया जाए व बैटरी को संयोजित ही रहने दिया जाए, तब :-

(i) प्लेटों के मध्य विभवांतर समान रहता है, अर्थात

$\displaystyle V={{V}_{0}}$

(ii) धारिता में वृद्धि हो जाती है,

$\displaystyle {{C}_{m}}=K{{C}_{0}}$

(iii) प्लेटों पर आवेश का मान बढ़ जाता है,

$\displaystyle Q={{C}_{m}}V=(K{{C}_{0}})V=K\left( {{C}_{0}}V \right)=K{{Q}_{0}}$

(iv) प्लेटों के मध्य विद्युत क्षेत्र की तीव्रता घटती है,

$\displaystyle E=\frac{{{E}_{0}}}{K}$

(v) संधारित्र में संचित उर्जा बढ़ती है,

$\displaystyle U=\frac{1}{2}{{C}_{m}}{{V}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left( K{{C}_{0}} \right)}^{2}}{{V}^{2}}=K\left[ \frac{1}{2}{{C}_{0}}{{V}^{2}} \right]=K{{U}_{0}}$

(3). यदि एक आवेशित संधारित्र की बैटरी को हटा कर प्लेटों के मध्य सम्पूर्ण स्थान में परावैद्युत पदार्थ भर दिया जाए, तब :-

(i) प्लेटों के मध्य विभवांतर घटता है, अर्थात

$\displaystyle V=\frac{Q}{{{C}_{m}}}=\frac{Q}{K{{C}_{0}}}=\frac{1}{K}\left( \frac{Q}{{{C}_{0}}} \right)=\frac{{{V}_{0}}}{K}$

(ii) धारिता में वृद्धि हो जाती है,

$\displaystyle {{C}_{m}}=K{{C}_{0}}$

(iii) प्लेटों पर आवेश का मान समान रहता है, अर्थात

$\displaystyle Q={{Q}_{0}}$

(iv) प्लेटों के मध्य विद्युत क्षेत्र की तीव्रता घटती है,

$\displaystyle E=\frac{{{E}_{0}}}{K}$

(v) संधारित्र में संचित उर्जा घटती है,

$\displaystyle U=\frac{1}{2}{{C}_{m}}{{V}^{2}}=\frac{1}{2}(K{{C}_{0}}){{\left( \frac{{{V}_{0}}}{K} \right)}^{2}}=\frac{1}{K}\left[ \frac{1}{2}{{C}_{0}}V_{0}^{2} \right]=\frac{{{U}_{0}}}{K}$

(4). यदि प्लेटों के मध्य सम्पूर्ण स्थान में वायु हो, अर्थात K = 1 व t = 0, तब,

$\displaystyle C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-0\left( 1-\frac{1}{1} \right)}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d}$ …..(3)

(5). यदि प्लेटों के मध्य आंशिक रूप से t मोटाई की धातु की प्लेट (K = ∞) रख दी जाए तब एक समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता,

उपरोक्त चित्र में धातु की प्लेट में प्रभावी विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है व केवल वायु स्थान (d – t) में विद्युत क्षेत्र E₀ रहता है।

अतः संधारित्र की प्लेटों के मध्य विभवान्तर (V),

$\displaystyle V={{E}_{0}}(d-t)=\frac{Q}{A{{\varepsilon }_{0}}}(d-t)$

धारिता C ,

$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{A{{\varepsilon }_{0}}}(d-t)}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{\left( d-t \right)}$ …..(4)

उपरोक्त परिणाम को समीकरण (1) में K = ∞ रखकर भी प्राप्त किया जा सकता है :-

$\displaystyle C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-t\left( 1-\frac{1}{\infty } \right)}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{\left( d-t \right)}$

यहाँ संधारित्र की प्लेटों के मध्य दूरी d प्रभावी रूप से घटती है (d – t), अतः प्लेटों के मध्य आंशिक रूप से धातु की प्लेट रखने से संधारित्र की धारिता बढती है।

(6). यदि प्लेटों के मध्य सम्पूर्ण स्थान में धातु भर दिया जाए, अर्थात t = d तब,

$\displaystyle C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{\left( d-d \right)}=\infty$

(7). यदि K₁, K₂, K₃,…… परावैद्युतांक तथा क्रमशः t₁, t₂, t₃,…… मोटाई की एक से अधिक परावैद्युत पदार्थ की पट्टियाँ प्लेटों के मध्य भर दी जाए तब संधारित्र की धारिता,

$\displaystyle C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d-{{t}_{1}}\left( 1-\frac{1}{{{K}_{1}}} \right)-{{t}_{2}}\left( 1-\frac{1}{{{K}_{2}}} \right)-{{t}_{3}}\left( 1-\frac{1}{{{K}_{3}}} \right)-.....}$

$\displaystyle \Rightarrow C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{\left[ d-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}+..... \right)+\frac{{{t}_{1}}}{{{K}_{1}}}+\frac{{{t}_{2}}}{{{K}_{2}}}+\frac{{{t}_{3}}}{{{K}_{3}}}+..... \right]}$

किन्तु $\displaystyle \left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}+..... \right)=d$ , अतः धारिता

$\displaystyle C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{\left[ \frac{{{t}_{1}}}{{{K}_{1}}}+\frac{{{t}_{2}}}{{{K}_{2}}}+\frac{{{t}_{3}}}{{{K}_{3}}}+..... \right]}$ …..(5)

आंशिक रूप से परावैद्युत पदार्थ की उपस्थिति में एक समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता

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