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समानांतर चालक प्लेटें

समानांतर चालक प्लेटें :- आइए हम दो समानांतर चालक प्लेटों पर विचार करें। प्लेट I को आवेश Q₁ दिया गया है और प्लेट II को आवेश Q₂ दिया गया है जो प्लेटों पर निम्न प्रकार स्वयं वितरित हो जाते हैं : –

यहाँ

q₁ + q₂ = Q₁ …..(1)

q₃ + q₄ = Q₂ …..(2)

अब एक गाउसीयन पृष्ठ ABCD पर विचार करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस बंद पृष्ठ के दो फलक पूर्णतया चालक के अन्दर स्थित हैं(AD और BC), जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है। इन फलकों से निर्गत फ्लक्स शून्य है। बंद सतह के दूसरे फलक जो कि चालक के बाहर स्थित हैं, विद्युत क्षेत्र के समान्तर हैं। अतः इन फलकों से पारित विद्युत फ्लक्स भी शून्य है। इसलिए, बंद प्रष्ठ ABCD से निर्गत कुल विद्युत फ्लक्स शून्य है। गाउस के नियम से बंद प्रष्ठ के अन्दर कुल आवेश शून्य होना चाहिये। प्रष्ठ I की आन्तरिक सतह पर आवेश, प्रष्ठ II की आन्तरिक सतह पर आवेश के बराबर व विपरीत प्रक्रति का होना चाहिये।

अतः

q₂ = – q₃ …..(3)

अब वितरित आवेशों के मथ्य अन्य संबंध ज्ञात करने के लिए हम बिंदु P पर कुल विद्युत क्षेत्र ज्ञात करते हैं।

हम जानते हैं कि आवेश की एकल परत के कारण विद्युत क्षेत्र $\displaystyle \frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{q}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$ होता है।

बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :-

आवेश की q₁ परत के कारण = $\displaystyle \frac{{{q}_{1}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$ (दाहिने हाथ की ओर)

आवेश की q₂ परत के कारण = $\displaystyle \frac{{{q}_{2}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$ (बाएँ हाथ की ओर)

आवेश की q₃ परत के कारण = $\displaystyle \frac{{{q}_{3}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$ (बाएँ हाथ की ओर)

आवेश की q₄ परत के कारण = $\displaystyle \frac{{{q}_{4}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$ (बाएँ हाथ की ओर)

बिंदु P पर कुल विद्युत क्षेत्र,

$\displaystyle {{\left( {{E}_{net}} \right)}_{at\text{ }P}}=\frac{{{q}_{1}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{{{q}_{2}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{{{q}_{3}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{{{q}_{4}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$

चूँकि बिंदु P चालक के अंदर स्थित है, इसलिए यहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए

$\displaystyle \frac{{{q}_{1}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{{{q}_{2}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{{{q}_{3}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{{{q}_{4}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}=0$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{{q}_{1}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{{{q}_{2}}+{{q}_{3}}+{{q}_{4}}}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{q}_{1}}={{q}_{2}}+{{q}_{3}}+{{q}_{4}}$

अब क्यूंकि q₂ = – q₃, अतः

q₁ = q₄ …..(4)

अब समीकरण (1) और (2) का योग करने पर,

$\displaystyle {{q}_{1}}+{{q}_{2}}+{{q}_{3}}+{{q}_{4}}={{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{q}_{4}}+(-{{q}_{3}})+{{q}_{3}}+{{q}_{4}}={{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}$

$\displaystyle {{q}_{4}}=\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{2}$

समीकरण (1) और (2) में q₄ का मान रखने पर, हमें मिलता है

$\displaystyle {{q}_{2}}=\frac{{{Q}_{1}}-{{Q}_{2}}}{2}$ & $\displaystyle {{q}_{3}}=\frac{{{Q}_{2}}-{{Q}_{1}}}{2}$

अंत में,

$\displaystyle {{q}_{1}}={{q}_{4}}=\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{2}$ …..(5)

$\displaystyle {{q}_{2}}=\frac{{{Q}_{1}}-{{Q}_{2}}}{2}$ …..(6)

$\displaystyle {{q}_{3}}=\frac{{{Q}_{2}}-{{Q}_{1}}}{2}$ …..(7)

अतः परिणाम यह है कि, जब आवेशित चालक प्लेटों को एक-दूसरे के समान्तर रखा जाता है तो बाह्यतम सतहों पर समान आवेश तथा सम्मुख सतहों पर समान तथा विपरीत आवेश प्राप्त होते हैं ।

उदाहरण
चित्र में तीन बड़ी चालक प्लेटें दर्शायी गई हैं जिनके आवेश क्रमशः – Q, 3Q और Q हैं। सभी सतहों पर अन्तिम आवेश ज्ञात करें।

हल :-

माना कि पृष्ठ 2 पर आवेश x है। आवेश संरक्षण नियम से पृष्ठ 1 पर आवेश (– Q – x) होगा। धात्विक प्लेट के अन्दर विद्युत क्षेत्र शून्य है, अतः P पर विद्युत क्षेत्र भी शून्य होगा।

P पर परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य है, अतः

$\displaystyle {{\left( {{E}_{net}} \right)}_{at\text{ }P}}=-\frac{\left( Q+x \right)}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{x}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{3Q}{2A{{\varepsilon }_{0}}}-\frac{Q}{2A{{\varepsilon }_{0}}}=0$

$\displaystyle \Rightarrow -\frac{\left( Q+x \right)}{2A{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{x}{2A{{\varepsilon }_{0}}}+\frac{3Q}{2A{{\varepsilon }_{0}}}+\frac{Q}{2A{{\varepsilon }_{0}}}$