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संधारित्र में संचित ऊर्जा

संधारित्र में संचित ऊर्जा (Energy Stored in a Charged Capacitor) :- माना एक संधारित्र की धारिता C है जिसे एक बैटरी से जोड़कर शून्य विभव से V विभव तक आवेशित किया जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा कुल उर्जा का मान ज्ञात करने के लिए, माना प्रारम्भ में दोनों प्लेटें P₁ व P₂ निरावेशित हैं व आवेश अल्प मात्र dq में प्लेट P₂ से प्लेट P₁ पर स्थानांतरित किया जा रहा है। क्योंकि प्लेट P₁ उच्च विभव पर व प्लेट P₂ निम्न विभव पर है अतः प्रत्येक dq अल्प आवेश की मात्रा को स्थानांतरित करने के लिए बाह्य कार्य करना होगा। यह प्रक्रम तब तक होता है जब तक की प्लेट P₁ पर आवेश की मात्रा +Q ना हो जाए। आवेश संरक्षण के नियम से प्लेट P₂ पर उस समय आवेश की मात्रा -Q होगी।

माना आवेशन के दौरान किसी समय प्लेट P₁ पर आवेश +q व प्लेट P₂ पर आवेश -q है। इस समय प्लेटों के मध्य विभावांतर $\displaystyle \frac{q}{C}$ होगा। अल्प आवेश dq को स्थानांतरित करने में बैटरी द्वारा किया गया अल्प कार्य :-

$\displaystyle dW=\frac{q}{C}\times dq$

संधारित्र को +Q आवेश से आवेशित करने में किया गया कुल कार्य :-

$\displaystyle W=\int\limits_{0}^{Q}{dW=}\int\limits_{0}^{Q}{\frac{q}{C}\times dq=}\frac{1}{C}\int\limits_{0}^{Q}{qdq=}\frac{1}{C}\left[ \frac{{{q}^{2}}}{2} \right]_{0}^{Q}$

$\displaystyle \Rightarrow W=\frac{1}{C}\frac{{{Q}^{2}}}{2}$

क्योंकि स्थिरवैद्युत बल संरक्षी है अतः बैटरी द्वारा किया गया यह कार्य संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा (U) के रूप में संचित हो जाता है।

$\displaystyle U=W=\frac{1}{C}\frac{{{Q}^{2}}}{2}$

Q = CV रखने पर,

$\displaystyle U=\frac{1}{C}\frac{{{\left( CV \right)}^{2}}}{2}=\frac{\text{1}}{2}C{{V}^{2}}$

इसी प्रकार C = Q/V रखने पर,

$\displaystyle U=\frac{\text{1}}{2}\frac{Q}{V}{{V}^{2}}=\frac{\text{1}}{2}QV$

अतः संधारित्र में संचित ऊर्जा

$\displaystyle U=\frac{\text{1}}{2}\frac{{{Q}^{2}}}{C}=\frac{\text{1}}{2}C{{V}^{2}}=\frac{\text{1}}{2}QV$

समांतर प्लेट संधारित्र का ऊर्जा घनत्व (u)

(संधारित्र में संचित ऊर्जा)

ऊर्जा घनत्व (Energy Density): एकांक आयतन में संचित ऊर्जा को ऊर्जा घनत्व कहते हैं।

यदि समांतर प्लेट संधारित्र की प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल A एवं प्लेटों के मध्य दूरी d हो, तब संधारित्र का आयतन (V) = Ad

$\displaystyle Energy\text{ }Density(u)=\frac{Total\text{ }Energy\text{ }(U)}{Volume\text{ }(V)}=\frac{\frac{\text{1}}{2}C{{V}^{2}}}{Ad}$

$\displaystyle u=\frac{\text{1}}{2}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d} \right)\left( \frac{{{V}^{2}}}{Ad} \right)$

यदि संधारित्र की प्लेटों के मध्य विद्युत क्षेत्र का मान E हो, तब

$\displaystyle V=Ed$

अतः

$\displaystyle u=\frac{\text{1}}{2}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}A}{d} \right)\left( \frac{{{E}^{2}}{{d}^{2}}}{Ad} \right)$

$\displaystyle u=\frac{\text{1}}{2}{{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}$

संधारित्र में संचित ऊर्जा

समांतर प्लेट संधारित्र का ऊर्जा घनत्व (u)

(संधारित्र में संचित ऊर्जा)

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