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विकिरण दाब | विकिरण दाब का सूत्र क्या है?

विकिरण दाब :- मैक्सवेल के अनुसार एक विद्युत चुम्बकीय तरंग संवेग ( $\displaystyle p=\frac{h}{\lambda }$ ) एवं उर्जा ( $\displaystyle E=\frac{hc}{\lambda }$ ) का वहन करती है और जब यह विद्युत चुम्बकीय तरंग किसी वस्तु द्वारा अवशोषित/परावर्तित होती है, तो यह वस्तु सतह के लंबवत दिशा में एक बल का अनुभव करेगी। मैक्सवेल के इस विचार की पुष्टि 1903 में निकोल्स(Nichols) और हल(Hull) ने एक ऐंठन तुला(torsion balance) का उपयोग करके विकिरण दबावों को सटीक रूप से मापने के द्वारा की थी।

विकिरण दाब का सूत्र क्या है?

माना I तीव्रता की विद्युत चुम्बकीय तरंग A क्षेत्रफल की सतह पर आपतित होती है, जिसमें अवशोषण और परावर्तन गुणांक ‘a’ और ‘r’ हैं और कोई पारगमन नहीं होता है। सतह पर पुंज द्वारा लगाए गए बल की गणना के लिए, हम निम्न स्थितियो पर विचार करते हैं :-

स्थिति I :- विकिरण के पूर्ण अवशोषण और परावर्तन न होने की स्थिति में विकिरण दाब अर्थात, a = 1, r = 0

फोटॉन का प्रारंभिक संवेग, $\displaystyle p=\frac{h}{\lambda }$ (नीचे की दिशा में)

फोटॉन का अंतिम संवेग = 0

फोटॉन के संवेग गति में परिवर्तन, $\displaystyle \Delta p=\frac{h}{\lambda }$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

एकांक समय में आपतित ऊर्जा = IA

एकांक समय में आपतित फोटॉनों की संख्या, $\displaystyle n=\frac{IA}{h\nu }=\frac{IA\lambda }{hc}$

अतः एकांक समय में संवेग में कुल परिवर्तन, $\displaystyle \Delta P=n\Delta p=\frac{IA\lambda }{hc}\times \frac{h}{\lambda }=\frac{IA}{c}$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

फोटॉन पर लगा बल = एकांक समय में संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{IA}{c}$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

∴ फोटॉन के कारण सतह पर बल, $\displaystyle F=\frac{IA}{c}$ = (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

अत: सतह पर विकिरण दाब, $\displaystyle {{P}_{rad}}=\frac{F}{A}=\frac{IA}{c}\times \frac{1}{A}=\frac{I}{c}$

$\displaystyle \therefore \underbrace{{{P}_{rad}}=\frac{I}{c}}_{\text{Perfect absorber}}$

यह भी ध्यान दें कि (I/c) ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) u को दर्शाता है,

अतः,

$\displaystyle \therefore \underbrace{{{P}_{rad}}=\frac{I}{c}=u}_{\text{Perfect absorber}}$

स्थिति II :- विकिरण के पूर्ण परावर्तन और अवशोषण न होने की स्थिति में विकिरण दाब अर्थात, r = 1, a = 0

फोटॉन का प्रारंभिक संवेग, $\displaystyle p=\frac{h}{\lambda }$ (नीचे की दिशा में)

फोटॉन का अंतिम संवेग, $\displaystyle p=\frac{h}{\lambda }$ (ऊपर की दिशा में)

फोटॉन के संवेग गति में परिवर्तन, $\displaystyle \Delta p=\frac{h}{\lambda }+\frac{h}{\lambda }=\frac{2h}{\lambda }$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

एकांक समय में आपतित ऊर्जा = IA

एकांक समय में आपतित फोटॉनों की संख्या, $\displaystyle n=\frac{IA}{h\nu }=\frac{IA\lambda }{hc}$

अतः एकांक समय में संवेग में कुल परिवर्तन, $\displaystyle \Delta P=n\Delta p=\frac{IA\lambda }{hc}\times \frac{2h}{\lambda }=\frac{2IA}{c}$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

फोटॉन पर लगा बल = एकांक समय में संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{2IA}{c}$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

∴ फोटॉन के कारण सतह पर बल, $\displaystyle F=\frac{2IA}{c}$ = (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

अत: सतह पर विकिरण दाब, $\displaystyle {{P}_{rad}}=\frac{F}{A}=\frac{2IA}{c}\times \frac{1}{A}=\frac{2I}{c}$

$\displaystyle \underbrace{{{P}_{rad}}=\frac{2I}{c}=2u}_{\text{Perfect reflector}}$

स्थिति III :- विकिरण के आंशिक परावर्तन और आंशिक अवशोषण की मामले में विकिरण दाब, अर्थात, o < r < 1 and a + r = 1

परावर्तित फोटॉन के संवेग में परिवर्तन, $\displaystyle \Delta {{p}_{1}}=\frac{2h}{\lambda }$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

अवशोषित फोटॉन के संवेग में परिवर्तन, $\displaystyle \Delta {{p}_{2}}=\frac{h}{\lambda }$ (सतह के लंबवत और ऊपर की ओर)

एकांक समय में आपतित फोटॉनों की संख्या, $\displaystyle n=\frac{IA}{h\nu }=\frac{IA\lambda }{hc}$

एकांक समय में परावर्तित फोटॉनों की संख्या = $\displaystyle \frac{IA\lambda }{hc}\times r$

एकांक समय में अवशोषित फोटॉनों की संख्या = $\displaystyle \frac{IA\lambda }{hc}\times (1-r)$

परावर्तित फोटॉन के कारण बल,

$\displaystyle {{F}_{r}}=\frac{IA\lambda }{hc}\times (r)\times \frac{2h}{\lambda }=\frac{2IAr}{c}$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

अवशोषित फोटॉन के कारण बल,

$\displaystyle {{F}_{a}}=\frac{IA\lambda }{hc}\times (1-r)\times \frac{h}{\lambda }=\frac{IA}{c}(1-r)$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

कुल बल,

$\displaystyle F={{F}_{a}}+{{F}_{r}}=\frac{IA}{c}(1-r)+\frac{2IAr}{c}$

$\displaystyle \Rightarrow F=\frac{IA}{c}(1+r)$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

अत: सतह पर विकिरण दाब,

$\displaystyle P=\frac{IA}{c}(1+r)\times \frac{1}{A}$

$\displaystyle \underbrace{{{P}_{rad}}=\frac{I}{c}(1+r)=u(1+r)}_{\text{Partial absorption }\!\!\And\!\!\text{ Partial reflection}}$

स्थिति IV:- सतह पर θ कोण पर आपतित विकिरण की स्थिति में विकिरण दाब

स्थिति (A) :- a = 1, r = 0

फोटॉन का प्रारंभिक संवेग (अभिलम्ब के साथ θ कोण पर) = $\displaystyle \frac{h}{\lambda }$

फोटॉन का अंतिम संवेग = 0

सतह के लंबवत और ऊपर की ओर फोटॉन के संवेग में परिवर्तन = $\displaystyle \frac{h}{\lambda }\cos \theta$

सतह के लम्बवत एकांक समय में आपतित ऊर्जा(क्षेत्रफल A पर) = IA cosθ

एकांक समय में आपतित फोटॉनों की संख्या(क्षेत्रफल A पर) = $\displaystyle \frac{IA\text{ }cos\theta }{hc}.\lambda$

एकांक समय में सतह(क्षेत्रफल A) के लम्बवत व उपर की ओर फोटॉनों के संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{IA\text{ }cos\theta }{hc}\lambda .\frac{h}{\lambda }\cos \theta =\frac{IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}$

सतह (क्षेत्रफल A) को प्रति इकाई समय में नीचे की ओर प्रदान किया गया कुल संवेग = $\displaystyle \frac{IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}$

सतह पर बल (F) = एकांक समय में संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

विकिरण दाब = $\displaystyle \frac{IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}.\frac{1}{A}$

$\displaystyle {{P}_{rad}}=\frac{I\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}=uco{{s}^{2}}\theta$

स्थिति (B) :- a = 0, r = 1

इस स्थिति में सतह के लंबवत और ऊपर की ओर एक फोटॉन के संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{2h}{\lambda }\cos \theta$

एकांक समय में आपतित फोटॉनों की संख्या (क्षेत्रफल A पर) = $\displaystyle \frac{IA\text{ }cos\theta }{hc}.\lambda$

एकांक समय में सतह(क्षेत्रफल A) के लम्बवत व उपर की ओर फोटॉनों के संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{IA\text{ }cos\theta }{hc}\lambda .\frac{2h}{\lambda }\cos \theta =\frac{2IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}$

सतह (क्षेत्रफल A) को प्रति इकाई समय में नीचे की ओर प्रदान किया गया कुल संवेग = $\displaystyle \frac{2IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}$

सतह पर बल (F) = एकांक समय में संवेग में कुल परिवर्तन = $\displaystyle \frac{2IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

विकिरण दाब = $\displaystyle \frac{2IA\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}.\frac{1}{A}$

$\displaystyle {{P}_{rad}}=\frac{2I\text{ }co{{s}^{2}}\theta }{c}=2uco{{s}^{2}}\theta$

स्थिति (C) :- आंशिक परावर्तन और आंशिक अवशोषण, अर्थात i.e., o < r < 1 और a + r = 1

परावर्तित फोटॉन के संवेग में परिवर्तन(सतह के लंबवत और ऊपर की ओर) = $\displaystyle \frac{2h}{\lambda }\cos \theta$

अवशोषित फोटॉन के संवेग में परिवर्तन(सतह के लंबवत और ऊपर की ओर) = $\displaystyle \frac{h}{\lambda }\cos \theta$

एकांक समय में आपतित फोटॉनों की संख्या (क्षेत्रफल A पर) = $\displaystyle \frac{IA\text{ }cos\theta }{hc}.\lambda$

एकांक समय में परावर्तित फोटॉनों की संख्या = $\displaystyle \frac{IAcos\theta }{hc}\lambda \times r$

एकांक समय में अवशोषित फोटॉनों की संख्या = $\displaystyle \frac{IAcos\theta }{hc}\lambda \times (1-r)$

परावर्तित फोटॉन के कारण बल,

$\displaystyle {{F}_{r}}=\frac{IAcos\theta }{hc}\lambda \times (r)\times \frac{2hcos\theta }{\lambda }=\frac{2IAco{{s}^{2}}\theta }{c}.r$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)

अवशोषित फोटॉन के कारण बल,

$\displaystyle {{F}_{a}}=\frac{IAcos\theta }{hc}\lambda \times (1-r)\times \frac{hcos\theta }{\lambda }=\frac{IAco{{s}^{2}}\theta }{c}\times (1-r)$ (सतह के लंबवत और नीचे की ओर)