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प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान | एक अर्धचक्र में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान

प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान | एक अर्धचक्र में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान :- प्रत्यावर्ती धारा की भांति प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का मान भी प्रथम अर्ध चक्र (t = 0 से t = T/2) में धनात्मक होता है व द्वितीय अर्ध चक्र (t = T/2 से t = T) में उतना ही ऋणात्मक होता है, अतः एक पूर्ण चक्र में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान शून्य प्राप्त होगा। इसलिए हम किसी भी एक अर्ध चक्र के लिए प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान ज्ञात करेंगे।

किसी भी एक अर्ध चक्र में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान उस दिष्ट विधुत-वाहक बल (नियत विभवान्तर) के मान के तुल्य होता है जो किसी विद्युत परिपथ में अर्ध चक्र में (T/2 समय में) उतना आवेश प्रवाहित कर दे, जितना प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल द्वारा उसी विद्युत परिपथ में अर्ध चक्र में प्रवाहित किया जाता है।

प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान ज्ञात करने के लिए माना किसी विद्युत परिपथ पर आरोपित प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल निम्न फलन द्वारा दिया जाता है :-

$\displaystyle E={{E}_{0}}sin\text{ }\omega t$ …..(1)

जहाँ E₀ प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का शीर्ष मान/शिखर मान है।

यदि किसी समय t पर परिपथ में धारा का मान I हो, तब

$\displaystyle I=\frac{E}{R}=\frac{{{E}_{0}}}{R}sin\text{ }\omega t$

जहाँ R परिपथ का प्रतिरोध है।

यदि अल्प समय dt के लिए प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का मान नियत माना जाए तब परिपथ में प्रवाहित अल्प आवेश dq :

$\displaystyle dq=Idt=\left( \frac{{{E}_{0}}}{R}sin\text{ }\omega t \right)dt$ …..(2)

प्रथम अर्ध चक्र (t = 0 से t = T/2) में परिपथ में प्रवाहित कुल आवेश :

$\displaystyle q=\int\limits_{0}^{{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\left( \frac{{{E}_{0}}}{R}sin\text{ }\omega t \right)dt}$

$\displaystyle \Rightarrow q=\frac{{{E}_{0}}}{R}\int\limits_{0}^{{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\left( sin\text{ }\omega t \right)dt}$

$\displaystyle \Rightarrow q=\frac{{{E}_{0}}}{R}\left[ \frac{-cos\text{ }\omega t}{\omega } \right]_{0}^{{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{E}_{0}}}{\omega R}\left[ cos\text{ }\left( \omega \times \frac{T}{2} \right)-cos\text{ }\left( \omega \times 0 \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{E}_{0}}}{\omega R}\left[ cos\text{ }\left( \frac{2\pi }{T}\times \frac{T}{2} \right)-cos\text{ }\left( 0 \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{E}_{0}}}{\omega R}\left[ cos\text{ }\left( \pi \right)-cos\text{ }\left( 0 \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=-\frac{{{E}_{0}}}{\omega R}\left[ -1-1 \right]$

$\displaystyle \Rightarrow q=\frac{2{{E}_{0}}}{\omega R}$ …..(3)

यदि E_m प्रथम अर्ध चक्र (t = 0 से t = T/2) में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान हो, तब

$\displaystyle q=\frac{{{E}_{m}}}{R}\times \frac{T}{2}$ …..(4)

समीकरण (3) व (4) से,

$\displaystyle \frac{{{E}_{m}}}{R}\times \frac{T}{2}=\frac{2{{E}_{0}}}{\omega R}$

$\displaystyle \Rightarrow {{E}_{m}}\times \frac{T}{2}=\frac{2{{E}_{0}}}{{}^{2\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{T}\;}$

$\displaystyle \therefore {{E}_{m}}=\frac{2}{\pi }{{E}_{0}}=\text{0}\text{.637}{{E}_{0}}$ …..(5)

अतः अर्ध चक्र में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान उसके शिखर मान (E₀) का 0.637 गुना होता है अथवा शिखर मान का 63.7 % होता है।

इसी प्रकार समीकरण (2) का द्वितीय अर्ध चक्र (t = T/2 से t = T) के लिए समाकलन किया जाए तब हमें निम्न मान प्राप्त होगा :

$\displaystyle {{E}_{m}}=-\frac{2}{\pi }{{E}_{0}}=-\text{0}\text{.637}{{E}_{0}}$ …..(6)

अतः एक पूर्ण चक्र (t = 0 से t = T) में प्रत्यावर्ती विधुत-वाहक बल का औसत मान (0.637 E₀ – 0.637 E₀ = शून्य) प्राप्त होता है।

उपरोक्त परिणाम को समीकरण (2) का t = 0 से t = T सीमा में समाकलन कर भी प्राप्त किया जा सकता है।

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