Spread the love

धारा घनत्व

एक बिंदु पर सूक्ष्म स्तर पर दिशा के साथ धारा को निर्दिष्ट(specify) करने के लिए धारा घनत्व की अवधारणा प्रयोग की जाती है। “धारा घनत्व को एक ऐसे सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका परिमाण उस बिन्दु पर प्रति इकाई क्षेत्रफल के अभिलम्बवत् बहने वाली विद्युत धारा के परिमाण के बराबर होता है।“

सदैव याद रखें कि यह क्षेत्रफल उस बिन्दु से प्रवाहित होने वाले आवेश (या धारा) की दिशा के अभिलम्बवत् होता है।

किसी बिन्दु पर धारा घनत्व इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है $\displaystyle \vec{J}=\frac{dI}{dA}\hat{n}$

यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल धारा की दिशा के लम्बवत् नहीं है किन्तु धारा की दिशा से θ कोण बनाता है तब धारा घनत्व $\displaystyle J=\frac{dI}{dA\cos \theta }$

$\displaystyle \Rightarrow dI=JdA\cos \theta$

$\displaystyle \Rightarrow dI=\overrightarrow{J}.d\overrightarrow{A}$

$\displaystyle \Rightarrow I=\int{\overrightarrow{J}.d\overrightarrow{A}}$

धारा घनत्व $\displaystyle \vec{J}$ एक सदिश राशि है। इसकी दिशा विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\displaystyle \vec{E}$ के समान है।

S.I. मात्रक :- Ampere/m² और विमाएं:- [L^–2A]

नोट :-

यदि एक धात्विक चालक के असमान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल में स्थिर धारा बहती है तो तार के अनुदिश विदुत धारा(I) समान होगी किन्तु धारा घनत्व (J) अलग-अलग होग।

यहाँ I₁ = I₂ , A₁ < A₂, J₁ > J₂

उदाहरण 1
किसी बिन्दु पर धारा घनत्व $\displaystyle \vec{J}=\left( 2\times {{10}^{4}}\hat{j} \right)A{{m}^{-2}}$ है। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $\displaystyle \vec{S}=\left( 2\hat{i}+3\hat{j} \right)c{{m}^{2}}$ से प्रवाहित होने वाले आवेश के प्रवाह की दर ज्ञात करो।

हल

आवेश के प्रवाह की दर = धारा

$\displaystyle I=\int{\overrightarrow{J}}.d\overrightarrow{S}=(2\times {{10}^{4}})\left[ \hat{j}.(2\hat{i}+3\hat{j}) \right]\times {{10}^{-4}}A=6A$

उदाहरण 2
मिश्र धातु से बने एक तार के सिरों पर विभवान्तर आरोपित करके धारा प्रवाहित की जाती है। धारा घनत्व सम्बन्ध J = 3 + 2r के अनुसार परिवर्तित होता है, जहां r अक्ष से बिन्दु की दूरी है। यदि R तार की त्रिज्या हो तो तार के किसी अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाली कुल धारा की गणना करो।

हल

r त्रिज्या और dr मोटाई की एक वृत्ताकार पट्टी पर विचार करें

dr मोटाई की पट्टी से गुजरने वाली धारा, $\displaystyle dI=\overrightarrow{J}.d\overrightarrow{S}=(3+2r)(2\pi rdr)cos{{0}^{o}}=2\pi (3r+2{{r}^{2}})dr$

तार के किसी भी अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाली कुल धारा,

$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{R}{2\pi (3r+2{{r}^{2}})dr=}2\pi \left( \frac{3{{r}^{2}}}{2}+\frac{2{{r}^{3}}}{3} \right)units$

उदाहरण 3

चित्र में वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट वाला चालक दर्शाया गया है इसकी लम्बाई L है तथा इसमें I धारा प्रवाहित हो रही है। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल की त्रिज्या a से b तक रेखीय रूप से परिवर्तित होती है। यह मानते हुए कि (b – a) << L, बायीं ओर से x दूरी पर धारा घनत्व की गणना कीजिए।