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चुम्बकीय पारगम्यता तथा चुम्बकीय प्रवृत्ति में संबंध

चुम्बकीय पारगम्यता तथा चुम्बकीय प्रवृत्ति में संबंध :- जब किसी धारावाही परिनालिका में कोई चुम्बकीय पदार्थ रखा जाता है तब परिनालिका की क्रोड में कुल चुम्बकीय क्षेत्र :-

$\displaystyle B={{B}_{0}}+{{B}_{m}}$ …..(1)

यहाँ

B₀ = परिनालिका में प्रवाहित धारा (मुक्त धारा free current) के कारण चुम्बकीय क्षेत्र

B_m = पदार्थ के चुम्बकन से उत्पन्न बद्ध धाराओं (bound currents) के कारण चुम्बकीय क्षेत्र

अब

$\displaystyle {{B}_{\text{0}}}={{\mu }_{0}}H$ …..(2)

$\displaystyle {{B}_{m}}={{\mu }_{0}}I$ …..(3)

समीकरण (1) से,

$\displaystyle B={{\mu }_{0}}H+{{\mu }_{0}}I$

$\displaystyle \Rightarrow B={{\mu }_{0}}\left( H+I \right)$ …..(4)

पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति,

$\displaystyle {{\chi }_{m}}=\frac{I}{H}$

$\displaystyle \therefore I={{\chi }_{m}}H$

समीकरण (4) से,

$\displaystyle B={{\mu }_{0}}\left( H+{{\chi }_{m}}H \right)$

$\displaystyle \Rightarrow B={{\mu }_{0}}H\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)$

किन्तु $\displaystyle B=\mu H$ , अतः

$\displaystyle \mu H={{\mu }_{0}}H\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow \mu ={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{\mu }{{{\mu }_{0}}}=1+{{\chi }_{m}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{\mu }_{r}}=1+{{\chi }_{m}}$ …..(5)

उपरोक्त समीकरण (5) ही चुम्बकीय पारगम्यता तथा चुम्बकीय प्रवृत्ति में वांछित संबंध है।

उदाहरण 1.

एक लौहचुम्बकीय पदार्थ की छड़ के आयाम 10 cm × 0.5 cm × 0.2 cm हैं। इसे 0.5 × 10⁴ A m⁻¹ के चुम्बकन क्षेत्र में रखने पर इसमें 5 Am² का चुम्बकीय आघूर्ण उत्पन्न होता है तो चुंबकीय प्रेरण का मान होगा :-

$(A) 0.54$ T

(B) $0.358$ T

$(C) 6.28$ T

(D) $2.519$ T

हल :-

M = 5 A m²

V = 10 cm × 0.5 cm × 0.2 cm = 10^-6 m³

H = 0.5 × 10⁴ A m⁻¹

$\displaystyle B={{\mu }_{0}}\left( H+I \right)$

$\displaystyle \Rightarrow B={{\mu }_{0}}\left( H+\frac{M}{V} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow B=4\pi \times {{10}^{-7}}\times \left( 0.5\times {{10}^{4}}+\frac{5}{{{10}^{-6}}} \right)$

$\displaystyle B=6.28T$

उदाहरण 2.

30 cm³ आयतन का एक चुंबकीय पदार्थ 5 ओरस्टेड के चुंबकीय क्षेत्र में रखा गया है। यदि पदार्थ में उत्पन्न चुम्बकीय आघूर्ण 6 A-m² हो तो चुंबकीय प्रेरण की गणना करें।

हल :-

$\displaystyle V=30c{{m}^{3}}=30\times {{10}^{-6}}{{m}^{3}}$

$\displaystyle H=5\text{ }Oe=5\times \left( 80A{{m}^{-1}} \right)=400A{{m}^{-1}}$

$\displaystyle M=6A{{m}^{2}}$

$\displaystyle B={{\mu }_{0}}\left( H+\frac{M}{V} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow B=4\pi \times {{10}^{-7}}\times \left( 400+\frac{6}{30\times {{10}^{-6}}} \right)$

$\displaystyle B=0.25T$

उदाहरण 3.

1 cm² अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल की एक लौहचुम्बकीय पदार्थ की छड़ को 200 ओरस्टेड के चुंबकीय क्षेत्र में रखने पर 3000 G का चुंबकीय फ्लक्स घनत्व उत्पन्न होता है। छड़ की चुम्बकशीलता और चुंबकीय प्रवृत्ति के मान की गणना करें।

हल :-

$\displaystyle B=3000G=3000\times {{10}^{-4}}T$

$\displaystyle H=200\text{ }Oe=200\times \frac{{{10}^{3}}}{4\pi }A{{m}^{-1}}$

अब

$\displaystyle B=\mu H={{\mu }_{0}}{{\mu }_{r}}H$

$\displaystyle \Rightarrow {{\mu }_{r}}=\frac{B}{{{\mu }_{0}}H}=\frac{3000\times {{10}^{-4}}}{4\pi \times {{10}^{-7}}\times \left( 200\times \frac{{{10}^{3}}}{4\pi } \right)}=15$

$\displaystyle {{\chi }_{m}}={{\mu }_{r}}-1=15-1$

$\displaystyle {{\chi }_{m}}=14$

उदाहरण 4.

2 × 10³ Am^-1 का चुम्बकन क्षेत्र एक लोहे की छड़ में 8π T का चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। छड़ की सापेक्षिक चुंबकीय पारगम्यता ज्ञात करो।

हल :-

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=\frac{B}{{{\mu }_{0}}H}=\frac{8\pi }{\left( 4\pi \times {{10}^{-7}} \right)\times \left( 2\times {{10}^{3}} \right)}$

$\displaystyle {{\mu }_{r}}={{10}^{4}}$

उदाहरण 5.

लोहे के एक नमूने की चुम्बकीय पारगम्यता μ एवं चुम्बकन क्षेत्र H के मध्य निम्न संबंध है :-

$\displaystyle \mu =\left( \frac{\text{0}\text{.4}}{H}+12\times {{10}^{-4}} \right)henry/metre$

यहाँ H के मात्रक A-m है। H का वह मान ज्ञात करो जो 1.0 वेबर /मीटर² का चुंबकीय प्रेरण उत्पन्न करे।

हल :-

$\displaystyle B=\mu H$

$\displaystyle \Rightarrow 1=\left( \frac{\text{0}\text{.4}}{H}+12\times {{10}^{-4}} \right)H$

$\displaystyle \Rightarrow 1=0.4+12\times {{10}^{-4}}H$

$\displaystyle \Rightarrow 12\times {{10}^{-4}}H=0.6$

$\displaystyle \Rightarrow H=\frac{0.6}{12\times {{10}^{-4}}}$

$\displaystyle \therefore H=500A{{m}^{-1}}$

उदाहरण 6.

6 × 10⁴ Am^-1 के चुम्बकन क्षेत्र में रखे एक अनुचुम्बकीय पदार्थ की चुम्बकीय प्रवृत्ति 3.14 × 10^-4है। ज्ञात कीजिए :- (a) चुम्बकन तीव्रता (b) सापेक्षिक चुंबकीय पारगम्यता।

हल :-

$\displaystyle {{\chi }_{m}}=3.14\times {{10}^{-4}}$

$\displaystyle H=6\times {{10}^{4}}A{{m}^{-1}}$

(a) चुम्बकन तीव्रता

$\displaystyle I={{\chi }_{m}}H=\left( 3.14\times {{10}^{-4}} \right)\times \left( 6\times {{10}^{4}} \right)$

$\displaystyle I=18.84A{{m}^{-1}}$

(b) सापेक्षिक चुंबकीय पारगम्यता

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=1+{{\chi }_{m}}$

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=1+3.14\times {{10}^{-4}}$

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=1.00034$

उदाहरण 7.

किसी चुम्बकीय पदार्थ की चुम्बकीय प्रवृत्ति 30 × 10^-4है। इस पदार्थ की निरपेक्ष व सापेक्षिक चुंबकीय पारगम्यता ज्ञात करो।

हल :-

$\displaystyle {{\chi }_{m}}=30\times {{10}^{-4}}$

निरपेक्ष चुंबकीय पारगम्यता,

$\displaystyle \mu ={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)$

$\displaystyle \mu =4\pi \times {{10}^{-7}}\times \left( 1+30\times {{10}^{-4}} \right)$

$\displaystyle \mu =12.6\times {{10}^{-7}}Wb{{A}^{-1}}{{m}^{-1}}$

सापेक्षिक चुंबकीय पारगम्यता,

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=1+{{\chi }_{m}}$

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=1+30\times {{10}^{-4}}=1+0.003=1.003$

उदाहरण 8.

एक 0.5 m लम्बी और 2 mm² अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल की लोहे की छड़ को एक परिनालिका के अक्ष में रखा गया है। यदि परिनालिका में उत्पन्न चुम्बकन क्षेत्र(H) 5000 Am^-1 हो और लोहे की पारगम्यता 16π × 10^-5 WbA^-1m^-1हो, तब छड़ के चुम्बकीय आघूर्ण का मान ज्ञात करो।

हल :-

दिया है

$\displaystyle \begin{array}{l}H=5000A{{m}^{-1}}\\\mu =16\pi \times {{10}^{-5}}Wb{{A}^{-1}}{{m}^{-1}}\\A=2m{{m}^{2}}=2\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}\\l=0.5m\\M=?\end{array}$

अब

$\displaystyle I=\frac{M}{V}$

$\displaystyle \Rightarrow M=VI$

$\displaystyle \Rightarrow M=V\left( {{\chi }_{m}}H \right)$

$\displaystyle \Rightarrow M=VH\left( {{\mu }_{r}}-1 \right)$

$\displaystyle \Rightarrow M=VH\left( \frac{\mu }{{{\mu }_{0}}}-1 \right)$

$\displaystyle \Rightarrow M=AlH\left( \frac{\mu }{{{\mu }_{0}}}-1 \right)$

$\displaystyle \Rightarrow M=\left( 2\times {{10}^{-6}} \right)\times \left( 0.5 \right)\times \left( 5000 \right)\times \left( \frac{16\pi \times {{10}^{-5}}}{4\pi \times {{10}^{-7}}}-1 \right)$

$\displaystyle \therefore M=1.995A{{m}^{2}}$

उदाहरण 9.

एक परिनालिका की क्रोड़ में आपेक्षिक चुम्बकशीलता 400 का एक पदार्थ भरा गया है। परिनालिका के फेरे क्रोड़ से विद्युत रुद्ध हैं और इसमें 2 A की विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। यदि एकांक लम्बाई पर फेरों की संख्या 1000 हो तब ज्ञात करो :-

(a) H

(b) B

(d) चुम्बकन धारा (magnetizing current)

हल :-

दिया है :-

$\displaystyle {{\mu }_{r}}=400$

$\displaystyle i=2A$

$\displaystyle n=1000{{m}^{-1}}$

(a)

$\displaystyle H=ni=1000\times 2=2000A{{m}^{-1}}$

(b)

$\displaystyle B=\mu H={{\mu }_{0}}{{\mu }_{r}}H$

$\displaystyle B=\left( 4\pi \times {{10}^{-7}} \right)\times 400\times 2000=1.0048T\approx 1T$

(c)

$\displaystyle I={{\chi }_{m}}H=\left( {{\mu }_{r}}-1 \right)H=\left( 400-1 \right)\times 2000$

$\displaystyle I=7.98\times {{10}^{5}}A{{m}^{-1}}$

(d) चुम्बकन धारा (magnetizing current) या चुम्बककारी धारा (i_m) वह अतिरिक्त विद्युत धारा है जो क्रोड़ की अनुपस्थिति में परिनालिका के फेरों में प्रवाहित करने पर, उतना ही चुम्बकीय क्षेत्र B उत्पन्न हो जितना जितना क्रोड़ की उपस्थिति में उत्पन्न होता है, अतः

$\displaystyle B={{\mu }_{\text{0}}}n\left( i+{{i}_{m}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow {{i}_{m}}=\frac{B}{{{\mu }_{\text{0}}}n}-i$

$\displaystyle \therefore {{i}_{m}}=\frac{1}{4\pi \times {{10}^{-7}}\times 1000}-2$

$\displaystyle {{i}_{m}}=796-2=794A$

उदाहरण 10.

चुम्बकीय पदार्थ की एक छड़ को जिसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल 0.25 cm² है, 4000 Am^-1 के चुम्बकन क्षेत्र में रखा गया है। छड़ से पारित चुम्बकीय फ्लक्स का मान 25 × 10^-6 वेबर है। छड़ के लिए निम्न राशियाँ ज्ञात करो :-

(a) चुम्बकीय पारगम्यता

(b) चुम्बकीय प्रवृत्ति और

हल :-

दिया है :-

$\displaystyle A=0.25c{{m}^{2}}=0.25\times {{10}^{-4}}{{m}^{2}}$