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आवेशित चकती के कारण विदुत विभव

आवेशित चकती के कारण विदुत विभव :- मूल बिन्दु पर केन्द्रित, yz-तल में स्थित त्रिज्या R की एक पतली, एक समान रूप से आवेशित चकती पर विचार करें। यदि चकती पर कुल आवेश Q है, तो पृष्ठीय आवेश घनत्व होगा :

$\displaystyle \sigma =\frac{Q}{\pi {{R}^{2}}}$

हम x-अक्ष पर स्थित बिंदु P पर विद्युत विभव ज्ञात करना चाहते हैं, जो केंद्र से x लंबवत दूरी पर स्थित है जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है :

एकसमान रूप से आवेशित चकती के कारण विदुत विभव की अभिव्यक्ति

विदुत विभव की गणना करने के लिए, हम चकती को त्रिज्या y और चौड़ाई dy के छोटे-छोटे वलयों से बना हुआ मानते हैं। प्रत्येक वलय रेखीय आवेश वितरण की भांति कार्य करता है और बिंदु P पर विदुत विभव का योगदान देता है।

त्रिज्या y और मोटाई dy की इस पतली वलय आवेश की अल्प मात्रा :

$\displaystyle dq=\sigma .(2\pi ydy)$

त्रिज्या y के वलय के कारण P पर विद्युत विभव :

$\displaystyle dV=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{dq}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{2\pi \sigma ydy}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$

बिंदु P पर कुल विद्युत विभव dV को y = 0 से y = R की सीमाओं के मध्य समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है :

$\displaystyle V=\int{dV}=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\int\limits_{0}^{R}{\frac{ydy}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}$

$\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=u$ रखें, ताकि $\displaystyle du=2ydy$ ,

$\displaystyle \Rightarrow V=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\int\limits_{{{x}^{2}}}^{{{x}^{2}}+{{R}^{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{u}}}du=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \sqrt{u} \right]_{{{x}^{2}}}^{{{x}^{2}}+{{R}^{2}}}$