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गोलीय संधारित्र | गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र

गोलीय संधारित्र | गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र :- गोलीय संधारित्र में दो संकेंद्रित गोलाकार चालक होते हैं जिनके मध्य एक परावैद्युत पदार्थ (वायु या अन्य कुचालक पदार्थ) भरा होता है। माना आंतरिक गोले A की त्रिज्या a और बाह्य गोले B की त्रिज्या bहै।

भूसम्पर्कन के आधार पर गोलीय संधारित्र को दो भागों में बांटा जा सकता है :-

यदि बाह्य गोला भूसम्पर्कित हो (Outer sphere is earthed)
यदि आन्तरिक गोला भूसम्पर्कित हो (Inner sphere is earthed)

यदि बाह्य गोला भूसम्पर्कित हो

(गोलीय संधारित्र | गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र)

जब आन्तरिक गोले A को आवेश Q दिया जाता है तो यह इसकी सतह पर एक समान रूप से वितरित हो जाता है। प्रेरण के कारण बाह्य गोले B की आन्तरिक सतेह पर -Q आवेश व इसकी बाह्य सतेह पर +Q प्रेरित हो जाता है। अब क्यूंकि गोले B की बाह्य सतह भुसम्पर्कित है, अतः +Q आवेश पृथ्वी में प्रवाहित हो जाता है।

अब गोले A का विद्युत विभव,

V_A = गोले A के आवेश +Q के कारण विद्युत विभव + गोले B के आवेश -Q के कारण विद्युत विभव

$\displaystyle {{V}_{A}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q}{a}+\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\left( -Q \right)}{b}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{A}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right]$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{A}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{b-a}{ab} \right]$ …..(1)

क्यूंकि गोला B भुसम्पर्कित है, अतः

V_B = 0 …..(2)

अतः गोले A व B के मध्य विभवांतर,

$\displaystyle V={{V}_{A}}-{{V}_{B}}={{V}_{A}}-0={{V}_{A}}$

$\displaystyle \Rightarrow V=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{b-a}{ab} \right]$ …..(3)

अतः गोलीय संधारित्र की धारिता,

$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{b-a}{ab} \right]}$

$\displaystyle C=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}ab}{\left( b-a \right)}$ …..(4)

समीकरण (4) एक गोलीय संधारित्र की धारिता के लिए व्यंजक है।

यदि गोलों के मध्य ε_r परावैद्युतांक वाले पदार्थ को भर दिया जाए, तब गोलीय संधारित्र की धारिता,

$\displaystyle {{C}_{m}}={{\varepsilon }_{r}}C=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}ab}{\left( b-a \right)}$ …..(5)

नोट :-

यहाँ विद्युत क्षेत्र (E) गोले A से B की ओर है व ऊर्जा भी केवल गोलों के मध्य भाग में संचित है। गोले A के भीतर व गोले B के बाहर यदि हम कोई गाउसीय पृष्ठ बनायें तो उसके द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शुन्य होगा। अतः गोले A के भीतर व गोले B के बाहर विद्युत क्षेत्र (E) व विद्युत ऊर्जा शुन्य है।

यदि आन्तरिक गोला भूसम्पर्कित हो

(गोलीय संधारित्र | गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र)

पहला तरीका (First Method):-

माना बाह्य गोले B को +Q दिया जाता है व आन्तरिक गोला A भूसम्पर्कित है।

क्यूंकि आन्तरिक गोला A भूसम्पर्कित है अतः इसका विद्युत विभव शुन्य होना चाहिए (V_A= 0)। अब बाह्य गोले B के आवेश +Q के कारण गोले A का विद्युत विभव धनात्मक होगा जिसे शून्य करने के लिए गोले A की बाह्य सतह पर कुछ ऋणात्मक आवेश (माना x) प्रेरित होगा। A का कुल विद्युत विभव (V_A) :-

V_A = गोले B के आवेश +Q के कारण विद्युत विभव + गोले A के आवेश x के कारण विद्युत विभव

$\displaystyle {{V}_{A}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q}{b}+\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{x}{a}$

$\displaystyle \Rightarrow 0=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q}{b}+\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{x}{a}$

$\displaystyle \Rightarrow x=\frac{-Qa}{b}$

प्रेरण के कारण गोले B की आन्तरिक सतह पर $\displaystyle \frac{+Qa}{b}$ व बाह्य सतह पर $\displaystyle \frac{-Qa}{b}$ आवेश प्रेरित होगा। इस प्रकार गोले B की बाह्य सतह पर कुल आवेश $\displaystyle Q+\frac{-Qa}{b}=Q\left( 1-\frac{a}{b} \right)=Q\left( \frac{b-a}{b} \right)$ होगा।

गोले B का विद्युत विभव :

V_B = गोले B के आवेश $\displaystyle Q\left( \frac{b-a}{b} \right)$ के कारण विद्युत विभव + गोले B के आवेश $\displaystyle \frac{+Qa}{b}$ के कारण विद्युत विभव + गोले A के आवेश $\displaystyle \frac{-Qa}{b}$ के कारण विद्युत विभव

$\displaystyle {{V}_{B}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q\left( \frac{b-a}{b} \right)}{b}+\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\left( \frac{+Qa}{b} \right)}{b}+\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\left( \frac{-Qa}{b} \right)}{b}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{B}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q\left( b-a \right)}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\left( Qa \right)}{{{b}^{2}}}-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\left( Qa \right)}{{{b}^{2}}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{B}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q\left( b-a \right)}{{{b}^{2}}}$

अतः गोले A व B के मध्य विभवांतर,

$\displaystyle V={{V}_{B}}-{{V}_{A}}={{V}_{B}}-0={{V}_{B}}$

$\displaystyle \Rightarrow V=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q\left( b-a \right)}{{{b}^{2}}}$

अतः धारिता,

$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q\left( b-a \right)}{{{b}^{2}}}}$

$\displaystyle C=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{b}^{2}}}{\left( b-a \right)}$ …..(6)

द्वितीय तरीका (Second Method):-

उपरोक्त चित्र के अनुसार आप देख सकते हैं कि विधुत ऊर्जा (i) दोनों गोलों के मध्य के क्षेत्र में व (ii) गोले B से अनंत तक संचित है। अतः इसे 2 संधारित्रों का संयोजन माना जा सकता है :-

गोले A व B से बना संधारित्र जिसकी धारिता का सूत्र समीकरण (4) के अनुसार होगा व
गोले B से अनंत तक (इसमें दूसरा चालक गोला अनंत त्रिज्या का माना जाएगा) दूसरा संधारित्र जिसकी धारिता का सूत्र एक विलगित चालक गोले की धारिता से दिया जाएगा।

अतः कुल धारिता,

$\displaystyle C=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}ab}{\left( b-a \right)}+4\pi {{\varepsilon }_{0}}b$

$\displaystyle C=4\pi {{\varepsilon }_{0}}\left( \frac{ab}{\left( b-a \right)}+b \right)$

$\displaystyle \Rightarrow C=4\pi {{\varepsilon }_{0}}\left( \frac{ab+{{b}^{2}}-ab}{\left( b-a \right)} \right)$

$\displaystyle C=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{b}^{2}}}{\left( b-a \right)}$

इस प्रकार हमें वही समीकरण (6) प्राप्त होती है।

नोट :-

यदि गोलों के मध्य ε_r परावैद्युतांक वाले पदार्थ को भर दिया जाए, तब केवल गोलों के मध्य की धारिता प्रभावित होगी व बाह्य गोले B की धारिता अप्रभावित रहेगी। अतः गोलीय संधारित्र की नई धारिता,

$\displaystyle {{C}_{m}}=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}ab}{\left( b-a \right)}+4\pi {{\varepsilon }_{0}}b$