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आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा

आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा :- आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा, वह कार्य है जो प्रत्येक आवेश को अनंत से – जहां विद्युत क्षेत्र शून्य है – उसकी अंतिम स्थिति तक, स्थिरवैद्युत आकर्षण या प्रतिकर्षण बलों के विरुद्ध लाकर निकाय के आवेशों को एकत्रित करने के लिए आवश्यक होता है।

तीन या अधिक आवेशों के निकाय के लिए, कुल स्थितिज ऊर्जा प्रत्येक अद्वितीय युग्म की स्थितिज ऊर्जा का योग होती है :

$\displaystyle {{U}_{Total}}=\sum\limits_{i<j}{\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}$

जहाँ :

और आवेश हैं,
$_{j}$ उनके मध्य की दूरी है,
योग सभी अलग-अलग आवेश युग्मों के लिए है।

उदाहरण (तीन आवेश) :

मान लीजिए आवेश अलग-अलग स्थितियों पर स्थित हैं। निकाय की कुल स्थितिज ऊर्जा है :-

$\displaystyle U=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}_{23}}} \right)$

इसी प्रकार चार आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा,

$\displaystyle U=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{4}}}{{{r}_{14}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}_{23}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{4}}}{{{r}_{24}}}+\frac{{{q}_{3}}{{q}_{4}}}{{{r}_{34}}} \right)$

उदाहरण 1.

चित्र में तीन बिन्दु आवेशों की व्यवस्था दर्शाई गई है। इस व्यवस्था की कुल स्थितिज ऊर्जा शून्य है। अनुपात q/Q की गणना करें।

हल :

$\displaystyle U=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{\left( +q \right)\left( -Q \right)}{r}+\frac{\left( +q \right)\left( +q \right)}{2r}+\frac{\left( -Q \right)(+q)}{r} \right)=0$

$\displaystyle -\frac{qQ}{r}+\frac{{{q}^{2}}}{2r}-\frac{qQ}{r}=0$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{q}{Q}=4$

उदाहरण 2.

दो बिन्दु आवेश, जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान m तथा आवेश q है, जब एक दुसरे से r दुरी पर होते हैं तब इन्हें मुक्त रूप से छोड़ा जाता है। जब वे एक दुसरे से 2r दूरी पर होते हैं तो प्रत्येक आवेशित कण की चाल क्या होगी ?

हल :

संवेग संरक्षण नियम के अनुसार, दोनों कण समान चाल से चलेंगे।

अब ऊर्जा संरक्षण के नियम से :-

$\displaystyle {{\left( M.E. \right)}_{initial}}={{\left( M.E. \right)}_{final}}$

$\displaystyle 0+0+\frac{k{{q}^{2}}}{r}=2\times \left( \frac{1}{2}m{{v}^{2}} \right)+\frac{k{{q}^{2}}}{2r}$

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{k{{q}^{2}}}{2mr}}$

उदाहरण 3.

तीन समान आवेश q , a भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे हैं।

(i) आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
(ii) त्रिभुज की भुजा को a/2 तक घटाने के लिए आवश्यक कार्य की गणना करें।
(iii) यदि आवेशों को दर्शाई गई स्थिति से मुक्त कर दिया जाए तथा यदि प्रत्येक कण का द्रव्यमान m हो, तो प्रत्येक कण की चाल ज्ञात कीजिए जब वे 2a भुजा वाले त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित हों।

हल :

(i)

$\displaystyle U=k\left( \frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}_{23}}} \right)=k\left( \frac{{{q}^{2}}}{a}+\frac{{{q}^{2}}}{a}+\frac{{{q}^{2}}}{a} \right)=\frac{3k{{q}^{2}}}{a}joules$

(ii) भुजाओं की लम्बाई को घटाने में किया गया कार्य :

$\displaystyle W={{U}_{f}}-{{U}_{i}}=\frac{3k{{q}^{2}}}{\left( {}^{a}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}-\frac{3k{{q}^{2}}}{a}=\frac{3k{{q}^{2}}}{a}joules$

(iii) ऊर्जा संरक्षण के नियम से,

$\displaystyle {{\left( M.E. \right)}_{initial}}={{\left( M.E. \right)}_{final}}$

$\displaystyle 0+0+0+\frac{3k{{q}^{2}}}{a}=3\times \left( \frac{1}{2}m{{v}^{2}} \right)+\frac{3k{{q}^{2}}}{2a}$

$\displaystyle \frac{3}{2}m{{v}^{2}}=\frac{3k{{q}^{2}}}{2a}$

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{k{{q}^{2}}}{ma}}$

उदाहरण 4.

चार समान बिन्दु आवेश q, प्रत्येक को a भुजा वाले एक वर्ग के चार कोनों पर रखा गया है। आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

हल :

$\displaystyle U=k\left( \frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{4}}}{{{r}_{14}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}_{23}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{4}}}{{{r}_{24}}}+\frac{{{q}_{3}}{{q}_{4}}}{{{r}_{34}}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow U=k\left( \frac{{{q}^{2}}}{a}+\frac{{{q}^{2}}}{\sqrt{2}a}+\frac{{{q}^{2}}}{a}+\frac{{{q}^{2}}}{a}+\frac{{{q}^{2}}}{\sqrt{2}a}+\frac{{{q}^{2}}}{a} \right)$

$\displaystyle \therefore U=\frac{2k{{q}^{2}}}{a}\left[ 2+\frac{1}{\sqrt{2}} \right]joules$

उदाहरण 5.

छह समान बिन्दु आवेश q , एक षट्भुज जिसकी भुजा a है के छह शीर्षों पर रखे गए हैं। आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

$\displaystyle U=k\left( \frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{4}}}{{{r}_{14}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{5}}}{{{r}_{15}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{6}}}{{{r}_{16}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}_{23}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{4}}}{{{r}_{24}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{5}}}{{{r}_{25}}}+\frac{{{q}_{2}}{{q}_{6}}}{{{r}_{26}}}+\frac{{{q}_{3}}{{q}_{4}}}{{{r}_{34}}}+\frac{{{q}_{3}}{{q}_{5}}}{{{r}_{35}}}+\frac{{{q}_{3}}{{q}_{6}}}{{{r}_{36}}}+\frac{{{q}_{4}}{{q}_{5}}}{{{r}_{45}}}+\frac{{{q}_{4}}{{q}_{6}}}{{{r}_{46}}}+\frac{{{q}_{5}}{{q}_{6}}}{{{r}_{56}}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow U=k\left( \frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{4}}}{{{r}_{14}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{5}}}{{{r}_{15}}}+\frac{{{q}_{1}}{{q}_{6}}}{{{r}_{16}}} \right)\times 3$

$\displaystyle \Rightarrow U=k\left( \frac{{{q}^{2}}}{a}+\frac{{{q}^{2}}}{\sqrt{3}a}+\frac{{{q}^{2}}}{2a}+\frac{{{q}^{2}}}{\sqrt{3}a}+\frac{{{q}^{2}}}{a} \right)\times 3$

$\displaystyle \therefore U=\frac{3k{{q}^{2}}}{a}\left( 2+\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2} \right)joules$

आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा

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