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आवेशित वलय के कारण विद्युत विभव

आवेशित वलय के कारण विद्युत विभव :- इस आलेख में एक समान रूप से आवेशित वलय के कारण दो विशिष्ट स्थानों पर विद्युत विभव का मान ज्ञात किया जाएगा :

वलय के केंद्र पर विद्युत विभव
वलय के अक्ष पर एक बिंदु पर विद्युत विभव

माना R त्रिज्या की एक वलय पर Q आवेश एक समान रूप से वितरित है। वलय का रेखीय आवेश घनत्व (λ) :

$\displaystyle \lambda =\frac{Q}{2\pi R}$

एक समान रूप से आवेशित वलय के केंद्र पर विद्युत विभव

(आवेशित वलय के कारण विद्युत विभव)

वलय का प्रत्येक अंश केंद्र से समान दूरी पर है। आइए वलय पर एक छोटा सा आवेश तत्व dq लें। केंद्र पर dq के कारण विद्युत विभव :

$\displaystyle dV=\frac{kdq}{R}$

चूँकि सभी अल्पांश dq केन्द्र से समान दूरी R पर स्थित हैं अतः केंद्रे O पर कुल विद्युत विभव है :

$\displaystyle V=\int{dV=\int{\frac{kdq}{R}=}}\frac{k}{R}\int{dq}=\frac{k}{R}.Q$

$\displaystyle \therefore V=\frac{kQ}{R}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{Q}{R}$ …..(1)

एक समान रूप से आवेशित वलय के अक्ष पर स्थित एक बिंदु पर विद्युत विभव

(आवेशित वलय के कारण विद्युत विभव)

अब x-अक्ष पर एक बिंदु P पर विचार करें, जो वलय के केंद्र से x दूरी पर स्थित है। वलय का प्रत्येक अल्पांश dl (जिस परआवेश dq है), बिंदु P से $\displaystyle \sqrt{{{R}^{2}}+{{x}^{2}}}$ दूरी पर स्थित है।

बिन्दु P पर अल्पांश dl के कारण विद्युत विभव :

$\displaystyle dV=\frac{kdq}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{x}^{2}}}}$

चूँकि दूरी $\displaystyle \sqrt{{{R}^{2}}+{{x}^{2}}}$ सभी अल्पांशों dl के लिए समान है, बिंदु P पर कुल विद्युत विभव :

$\displaystyle V=\int{dV=\int{\frac{kdq}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{x}^{2}}}}=}}\frac{k}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{x}^{2}}}}\int{dq}=\frac{k}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{x}^{2}}}}\int{\lambda dl}$