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आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव

आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव :- माना L लंबाई की एक पतली छड़ है जिस पर कुल आवेश Q एक समान रूप से वितरित है। छड़ का रैखिक आवेश घनत्व λ निम्न द्वारा दिया जाता है :

$\displaystyle \lambda =\frac{Q}{L}$

छड़ के कारण हम 2 स्थानों पर विद्युत विभव V ज्ञात करेंगे :-

अक्षीय रेखा पर एक बिंदु पर विद्युत विद्युत विभव
निरक्षीय रेखा पर एक बिंदु पर विद्युत विद्युत विभव

1. अक्षीय रेखा पर एक बिंदु पर विद्युत विभव

(आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव)

मान लीजिए कि छड़ x-अक्ष के अनुदिश स्थित है, जिसका एक सिरा मूल बिंदु पर तथा दूसरा x = L पर है। हम छड़ के अक्ष के अनुदिश छड़ के एक सिरे से d दूरी पर स्थित बिंदु P पर विद्युत विभव V ज्ञात करना चाहते हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है :

छड़ dq आवेश व dx लम्बाई के एक अल्पांश के कारण बिंदु P पर विद्युत विभव है :

$\displaystyle dV=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{dq}{x}$

जहाँ अल्पांश dx पर आवेश की मात्रा है।

कुल विद्युत विभव ज्ञात करने के लिए, छड़ की सम्पूर्ण लंबाई पर dV का समाकलन करना होगा :

$\displaystyle V=\int{dV=}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{d}^{d+L}{\frac{dq}{x}}=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{d}^{d+L}{\frac{dx}{x}}$

$\displaystyle V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ {{\log }_{e}}x \right]_{d}^{d+L}=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ {{\log }_{e}}\left( d+L \right)-{{\log }_{e}}\left( d \right) \right]$

$\displaystyle \therefore V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}lo{{g}_{e}}\left( \frac{d+L}{d} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}L}lo{{g}_{e}}\left( \frac{d+L}{d} \right)$ …..(1)

2. निरक्षीय रेखा पर एक बिंदु पर विद्युत विभव

(आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव)

आइए अब हम छड़ के मध्यबिंदु (y-अक्ष पर) के ऊपर लंबवत दूरी r पर स्थित बिंदु P पर (निरक्षीय रेखा पर) विद्युत विभव का मान ज्ञात करें। मान लीजिए कि छड़ को मूल बिंदु पर केन्द्रित किया गया है और x-अक्ष के अनुदिश रखा गया है, जो −L/2 से +L/2 तक विस्तारित है।

अल्पांश dx के कारण बिंदु P पर विद्युत विभव :

$\displaystyle dV=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{dq}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{x}^{2}}}}$

जहाँ है।

कुल विद्युत विभव ज्ञात करने के लिए हमें का सम्पूर्ण छड़ के लिए सीमा x = – L/2 से x = + L/2 तक समाकलन करना होगा :-

$\displaystyle V=\int{dV=}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\frac{dq}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{x}^{2}}}}}=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\frac{dx}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{x}^{2}}}}}$ …..(2)

समीकरण (2) में $\displaystyle x=r\tan \theta \Rightarrow dx=r{{\sec }^{2}}\theta d\theta$ रखने पर हमें प्राप्त होता है :-

$\displaystyle V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int\limits_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\frac{r{{\sec }^{2}}\theta d\theta }{{{\left( {{r}^{2}}+{{r}^{2}}ta{{n}^{2}}\theta \right)}^{1/2}}}}$

$\displaystyle \Rightarrow V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int\limits_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\frac{r{{\sec }^{2}}\theta d\theta }{r{{\left( 1+ta{{n}^{2}}\theta \right)}^{1/2}}}}=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int\limits_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\frac{{{\sec }^{2}}\theta d\theta }{{{\left( {{\sec }^{2}}\theta \right)}^{1/2}}}}$

$\displaystyle \Rightarrow V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int\limits_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\sec \theta d\theta }$

अब क्यूंकि $\displaystyle \int{\sec \theta d\theta =lo{{g}_{e}}(\sec \theta +tan\theta )}+C$ , अतः

$\displaystyle \therefore V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ lo{{g}_{e}}(\sec \theta +tan\theta ) \right]_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}$ …..(3)

अब हम पुनः θ को x से प्रतिस्थापित करते हैं,

क्यूंकि $\displaystyle x=r\tan \theta \Rightarrow \tan \theta =\frac{x}{r}$

$\displaystyle \Rightarrow \sec \theta =\sqrt{1+ta{{n}^{2}}\theta }=\sqrt{1+\frac{{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}}=\frac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{x}^{2}}}}{r}$

समीकरण (3) में secθ और tanθ के मानों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

$\displaystyle V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ lo{{g}_{e}}(\frac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{x}^{2}}}}{r}+\frac{x}{r}) \right]_{{}^{-L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}^{{}^{+L}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}$

$\displaystyle \therefore V=\frac{\lambda }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}lo{{g}_{e}}\left[ \frac{\sqrt{{{L}^{2}}+4{{r}^{2}}}+L}{\sqrt{{{L}^{2}}+4{{r}^{2}}}-L} \right]$ …..(4)

आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव

1. अक्षीय रेखा पर एक बिंदु पर विद्युत विभव

(आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव)

2. निरक्षीय रेखा पर एक बिंदु पर विद्युत विभव

(आवेशित छड़ के कारण विद्युत विभव)

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