अल्फा बीटा और गामा के बीच संबंध

 

 

हम तापीय प्रसार में अल्फा बीटा और गामा के बारे में पढ़ चुके हैं, आज इस लेख में हम इन तीनो प्रसार गुणांकों(α,β व γ) के मध्य सम्बन्ध पर चर्चा करेंगे।

समांगी ठोस  के लिए अल्फा बीटा और गामा के बीच संबंध

मान लीजिए के किसी पदार्थ का, भुजा L का एक घन है जिसका : –

• रेखीये प्रसार गुणांक (α)
• क्षेत्रफल प्रसार गुणांक (β)  और
• आयतन प्रसार गुणांक (γ)

है।

माना घन को तापमान की एक अल्प परास ΔT से गर्म किया जाता है, जिसके कारण इसके आयाम बदल जाते हैं।

भुजा की नई लम्बाई           L = L₀ (1 + αΔT )     ……….(1)

फलक का नया क्षेत्रफल      A = A₀ (1 + βΔT )    ……….(2)

घन का नया आयतन           V = V₀ (1 + γΔT )    ……….(3)

अब,

फलक का नया क्षेत्रफल इस प्रकार लिखा जा सकता है :-

A₀+ΔA  =  (L)² = (L₀ + ΔL)²

A₀+βA₀ΔT  = (L₀ + αL₀ΔT)²

A₀ (1 + βΔT) = (L₀)²(1 + αΔT)²

A₀ (1 + βΔT) = (L₀)²(1 + αΔT)²

क्यूंकि A₀ = (L₀)²

⇒  1 + βΔT = (1 + αΔT)²

⇒  1 + βΔT = 1 + α² ΔT² + 2αΔT

⇒    βΔT  = α² ΔT² + 2αΔT

α की कोटी 10^-5 होती है, अतः α की बड़ी घातों को नगण्य माना जा सकता है, अर्थात,

α² ΔT² ≈ 0

ऐसा करने से हमें प्राप्त होता है :-

βΔT  =  2αΔT

βΔT  =  2αΔT

⇒   β = 2α  or  α = β/2     ……….(4)

इसी प्रकार घन का नया आयतन लिखा जा सकता है:-

V₀ + ΔV = (L)³ = (L₀ + ΔL)³

V₀ + γV₀ΔT  = (L₀ + αL₀ΔT)³

V₀(1 + γΔT)  = (L₀)³(1 + αΔT)³

because V₀ = (L₀)³

V₀(1 + γΔT)  = (L₀)³(1 + αΔT)³

1 + γΔT  = (1 + αΔT)³

1 + γΔT  = 1 + α³ΔT³ +3αΔT + 3α² ΔT²

पुनः α की बड़ी घातों को नगण्य मानने पर, अर्थात

α³ΔT³ ≈ 0   व   3α² ΔT² ≈ 0 , हमें प्राप्त होता है :-

1 + γΔT = 1 + 3αΔT

⇒     γΔT = 3αΔT

⇒  γ = 3α  or  α = γ/3     ……….(5)

समीकरण (4) व  (5) से,

α = β/2  =  γ/3

अथवा

6α = 3β  =  2γ

उपरोक्त सम्बन्ध ही α , β व γ में वांछित सम्बन्ध है।

साथ ही α : β : γ = 1 : 2 : 3

 

असमांगी ठोस  के लिए अल्फा बीटा और गामा के बीच संबंध

असमांगी ठोस के लिए

β = α₁ + α₂ और γ = α₁ + α₂ + α₃

यहाँ α₁ , α₂ and α₃  X, Y और Z  दिशा में रेखीय प्रसार गुणांक हैं।

 

उपरोक्त लेख का वीडियो लेक्चर :-

 

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