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तापीय प्रसार पर संख्यात्मक प्रश्न

प्रश्न (1). 25 सेमी लंबाई की एक धातु की छड़ A का तापमान, जब 0 डिग्री सेल्सियस से 100 डिग्री सेल्सियस तक बढ़ाया जाता है, तो इसकी लम्बाई में वृद्धि 0.05 सेमी होती है। तापमान में समान वृद्धि के लिए 40 सेमी लंबाई की एक अन्य छड़ B की लंबाई में वृद्धि 0.04 सेमी होती है । 50 सेंटीमीटर लंबाई की एक तीसरी छड़ C , छड़ A और B के टुकड़ों से बनी है जिसे 0°C से 50°C तक गर्म करने पर लम्बाई में वृद्धि 0.03 सेंटीमीटर होती है। सयुंक्त छड़ के प्रत्येक भाग की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:- छड़ A के लिए:-

0.05 = 25 α_A (100)

⇒ α_A= 2×10^-5 ºC^-1 ……….(1)

इसी प्रकार छड़ B के लिए:-

0.04 = 40 α_B (100)

⇒ α_B= 10^-5 ºC^-1 ……….(2)

सयुंक्त छड़ C के लिए:-

l_A + l_B = 50cm ………..(3)

⇒ Δl_A + Δl_B = 0.03

l_Aα_A (50) + l_Bα_B (50) = 0.03

l_A× 2 × 10^-5 × (50) + l_B× 10^-5 × (50) = 0.03

⇒ 2l_A + l_B = 60 ………..(4)

समीकरण (3) व (4) से,

l_A = 10 cm & l_B = 40 cm

प्रश्न (2) . यदि एक विषमदैशिक ठोस (non-isotropic solid) में, तीन परस्पर लंबवत दिशाओं के लिए रैखिक प्रसार गुणांक α_X, α_Y और α_Z हो, तो उस ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक का मान क्या होगा ?

हल:- माना उस विषमदैशिक ठोस पदार्थ से बना एक घन है, जिसके किनारे x , y और z के समांतर है व जिसका प्रारंभिक तापमान T = 0ºC है।

T ताप पर घन की नई भुजाएँ :-

l_x = l₀[1 + α_xT]

l_y = l₀[1 + α_yT]

l_z = l₀[1 + α_zT]

अतः घन का आयतन :-

V = l₀[1 + α_xT] × l₀[1 + α_yT] × l₀[1 + α_zT]

⇒ V = (l₀)³ [1 + α_xT][1 + α_yT][1 + α_zT]

क्यूंकि V₀ = (l₀)³

⇒ V = V₀ [1 + α_xT][1 + α_yT][1 + α_zT]

⇒ V = V₀ [1 + (α_x + α_y + α_z) T] …..(1)

[α_x, α_y और α_z की बड़ी घातों को नगण्य मानने पर ]

अब अंत में यदि γ ठोस का आयतन प्रसार का गुणांक हो, तब

V = V₀ [1 + γ T] …..(2)

समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर,

γ = α_x + α_y + α_z

प्रश्न (3) . एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार, l₁ लंबाई व रैखिक प्रसार गुणांक α₁ की एक छड़ से और दो समान भुजाएं, दो पतली छड़ों जिनकी लंबाई l₂ और रैखिक प्रसार गुणांक α₂ है, से बनी है। यदि शीर्ष और आधार के मध्य बिंदु के बीच की दूरी, तापमान में परिवर्तन पर नियत रहती है, तो यह दर्शाइए कि

$\displaystyle \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=2\sqrt{\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\alpha }_{1}}}}$

हल:- प्रथम तरीका:-

त्रिभुज की ऊंचाई, $\displaystyle h=\sqrt{l_{2}^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4}}$

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, ऊंचाई उतनी ही लंबी रहती है

$\displaystyle \Rightarrow \sqrt{l_{2}^{2}{{(1+{{\alpha }_{2}}t)}^{2}}-\frac{l_{1}^{2}}{4}{{(1+{{\alpha }_{1}}t)}^{2}}}=\sqrt{l_{2}^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4}}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=2\sqrt{\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\alpha }_{1}}}}$

द्वितीय तरीका:-

तापमान T में परिवर्तन के साथ, h स्थिर रहता है, इसलिए

$\displaystyle \frac{dh}{dT}=0$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{d({{h}^{2}})}{dT}=0$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dT}(l_{2}^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4})=0$

$\displaystyle 2{{l}_{2}}\frac{d{{l}_{2}}}{dT}-\frac{2}{4}{{l}_{1}}\frac{d{{l}_{1}}}{dT}=0$

$\displaystyle 2{{l}_{2}}\frac{d{{l}_{2}}}{dT}=\frac{2}{4}{{l}_{1}}\frac{d{{l}_{1}}}{dT}$

$\displaystyle \Rightarrow {{l}_{2}}\frac{{{l}_{2}}{{\alpha }_{2}}dT}{dT}=\frac{{{l}_{1}}}{4}\frac{{{l}_{1}}{{\alpha }_{1}}dT}{dT}$

$\displaystyle 4{{\alpha }_{2}}l_{2}^{2}={{\alpha }_{1}}l_{1}^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=2\sqrt{\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\alpha }_{1}}}}$

प्रश्न (4) . 0ºC पर एलुमिनियम की एक प्लेट में एक वृताकार छेद का व्यास 2.54 cm है। यदि प्लेट का तापमान 100ºC कर दिया जाए तो छेद का नया व्यास ज्ञात कीजिये।

दिया है α_Al = 2.3×10^-5ºC^-1.

हल:- व्यास में वृद्धि एक रेखीये वृद्धि है, अतः

D_T = D₀ (1 + α_AlΔT) = 2.54 (1 + 2.3×10^-5×100) = 2.5458 cm

प्रश्न (5) . एक बीकर का 0ºC पर आयतन 1 लीटर है।

50ºC पर इसका आयतन ज्ञात कीजिये।
यदि बीकर को 0ºC पर पारे से पूरी तरह भरा गया हो तब तापमान 50ºC करने पर पारे की कितनी मात्रा बीकर से बाहर निकल जाएगी ?

दिया है α_g = 8.3×10^-6 ºC^-1 और γ_Hg = 1.82×10^-4 ºC^-1

हल:-

i. 50ºC पर बीकर का नया आयतन

V _beaker = V₀(1 + 3α_gΔT) = (1)[1 + 3×8.3×10^-6×50] = 1.001 liter

ii. 50ºC पर पारे का नया आयतन

V _Hg = V₀(1 + γ_HgΔT) = (1)[1 + 1.82×10^-4×50] = 1.009 liter

पारे की वह मात्रा जो बीकर से बाहर निकल जाएगी ΔV = (1.009 – 1.001) liter = 0.008 liter = 8 ml

प्रश्न (6). 1 मीटर स्टील स्केल तैयार किया जाना है ताकि मिलीमीटर के अंतराल एक निश्चित तापमान पर 5 × 10^-4 mm के भीतर सटीक हो। तापमान में वह अधिकतम परिवर्तन ज्ञात कीजिये जिससे की स्केल यथार्थ मापन करे।

दिया है α_steel = 13.22×10^-6 ºC^-1

हल:- यहाँ

Δl = 5×10^-4mm , l = 1mm , α_steel = 13.22×10^-6 ºC^-1

Δl = α_steel × l × ΔT

5×10^-4 = 13.22×10^-6 ×1×ΔT

∴ ΔT = 500/13.22 = 37.82 ºC

उपरोक्त लेख का वीडियो लेक्चर :-

Comments (2)

Sir these are good and important question related to the topic of JEE.
Sir you expressed these solutions very clearly with having view like that you are teaching us here.
We are imagine that here you are teaching us in these notes.
And again thanks so much sir.

Second method of last question is very easy for the students.
And 1st is also easy but the calculation make it difficult.
I recommend to use 2nd method.

Comments (2) on “तापीय प्रसार पर संख्यात्मक प्रश्न”

Tejashvi Kumawat says:

27 April 2021 at 4:15 pm

Sir these are good and important question related to the topic of JEE.
Sir you expressed these solutions very clearly with having view like that you are teaching us here.
We are imagine that here you are teaching us in these notes.
And again thanks so much sir.

Tejashvi Kumawat says:

28 April 2021 at 2:57 am

Second method of last question is very easy for the students.
And 1st is also easy but the calculation make it difficult.
I recommend to use 2nd method.

तापीय प्रसार पर संख्यात्मक प्रश्न

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