तापीय प्रसार पर संख्यात्मक प्रश्न

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तापीय प्रसार पर संख्यात्मक प्रश्न

 

 

प्रश्न (1). 25 सेमी लंबाई की एक धातु की छड़ A का तापमान, जब  0 डिग्री सेल्सियस से 100 डिग्री सेल्सियस तक बढ़ाया जाता है, तो इसकी लम्बाई में वृद्धि 0.05 सेमी होती है। तापमान में समान वृद्धि के लिए 40 सेमी लंबाई की एक अन्य छड़ B की लंबाई में वृद्धि 0.04 सेमी होती है । 50 सेंटीमीटर लंबाई की एक तीसरी छड़ C , छड़ A और B के टुकड़ों से बनी है जिसे 0°​​C से 50°C तक गर्म करने पर लम्बाई में वृद्धि  0.03 सेंटीमीटर होती है। सयुंक्त छड़ के प्रत्येक भाग की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:- छड़ A के लिए:-

0.05 = 25 αA (100)

⇒    αA = 2×10-5 ºC-1     ……….(1)

इसी प्रकार छड़ B के लिए:-

0.04 = 40 αB (100)

⇒     αB = 10-5 ºC-1      ……….(2)

सयुंक्त छड़ C के लिए:-

lA + lB = 50cm     ………..(3)

⇒ ΔlA + ΔlB = 0.03

lAαA (50) + lBαB (50) = 0.03

lA × 2 × 10-5 × (50) + lB × 10-5 × (50) = 0.03

⇒ 2lA + lB  = 60    ………..(4)

समीकरण (3) व (4) से,

lA = 10 cm  &  lB = 40 cm

 

प्रश्न (2) . यदि एक आइसोट्रोपिक(समदैशिक) ठोस में,  तीन परस्पर लंबवत दिशाओं के लिए रैखिक प्रसार गुणांक  αX, αY और αZ  हो, तो ठोस के लिए आयतन प्रसार का गुणांक क्या है?

हल:- माना उस पदार्थ से बना एक घन है, जिसके किनारे x , y और z के समांतर है जिसका प्रारंभिक तापमान T = 0ºC है।

T ताप पर घन की नई भुजाएँ :-

lx = l0 [1 + αx T]

ly = l0 [1 + αy T]

lz = l0 [1 + αz T]

अतः घन का आयतन :-

V  =  l0 [1 + αx T]  ×  l0 [1 + αy T]  ×  l0 [1 + αz T]

⇒      V  =  (l0)3 [1 + αx T] [1 + αy T] [1 + αz T]

क्यूंकि V0  =  (l0)3

⇒      V  =  V0  [1 + αx T] [1 + αy T] [1 + αz T]

⇒      V  =  V0  [1 + (αx  + αy  + αz) T]     …..(1)

x , αy और αz  की बड़ी घातों को नगण्य मानने पर ]

अब अंत में यदि γ  ठोस का आयतन प्रसार का गुणांक हो, तब 

V  =  V0  [1 + γ T]    …..(2)

समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर,

γ = αx  + αy  + αz

 

प्रश्न (3) .  एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार,  l1 लंबाई व रैखिक प्रसार गुणांक α1 की एक छड़ से और दो समान भुजाएं, दो पतली छड़ों जिनकी लंबाई l2 और  रैखिक प्रसार गुणांक α2 है, से बनी है। अगर शीर्ष औरआधार के मध्य बंदु के बीच की दूरी, तापमान में परिवर्तन पर नियत रहती है, तो यह दर्शाइए कि 

\displaystyle \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=2\sqrt{\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\alpha }_{1}}}} 

तापीय प्रसार पर संख्यात्मक प्रश्न - Curio Physics

हल:- प्रथम तरीका:-

त्रिभुज की ऊंचाई, \displaystyle h=\sqrt{l_{2}^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4}}

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, ऊंचाई उतनी ही लंबी रहती है

\displaystyle \Rightarrow \sqrt{l_{2}^{2}{{(1+{{\alpha }_{2}}t)}^{2}}-\frac{l_{1}^{2}}{4}{{(1+{{\alpha }_{1}}t)}^{2}}}=\sqrt{l_{2}^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4}}

\displaystyle \Rightarrow \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=2\sqrt{\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\alpha }_{1}}}}

 

द्वितीय तरीका:-

तापमान T में परिवर्तन के साथ, h स्थिर रहता है, इसलिए

\displaystyle \frac{dh}{dT}=0

\displaystyle \Rightarrow \frac{d({{h}^{2}})}{dT}=0

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dT}(l_{2}^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4})=0

\displaystyle 2{{l}_{2}}\frac{d{{l}_{2}}}{dT}-\frac{2}{4}{{l}_{1}}\frac{d{{l}_{1}}}{dT}=0

\displaystyle 2{{l}_{2}}\frac{d{{l}_{2}}}{dT}=\frac{2}{4}{{l}_{1}}\frac{d{{l}_{1}}}{dT}

\displaystyle \Rightarrow {{l}_{2}}\frac{{{l}_{2}}{{\alpha }_{2}}dT}{dT}=\frac{{{l}_{1}}}{4}\frac{{{l}_{1}}{{\alpha }_{1}}dT}{dT}

\displaystyle 4{{\alpha }_{2}}l_{2}^{2}={{\alpha }_{1}}l_{1}^{2}

\displaystyle \Rightarrow \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=2\sqrt{\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\alpha }_{1}}}}

 

प्रश्न (4) . 0ºC पर एलुमिनियम की एक प्लेट में एक वृताकार छेद का व्यास 2.54 cm है। यदि प्लेट का तापमान 100ºC कर दिया जाए तो छेद का नया व्यास ज्ञात कीजिये।

दिया है αAl = 2.3×10-5 ºC-1.

हल:-  व्यास में वृद्धि एक रेखीये वृद्धि है, अतः

DT = D0 (1 + αAlΔT) = 2.54 (1 + 2.3×10-5×100) = 2.5458 cm

 

प्रश्न (5) . एक बीकर का 0ºC पर आयतन 1 लीटर है।

  1. 50ºC पर इसका आयतन ज्ञात कीजिये।
  2. यदि बीकर को 0ºC पर पारे से पूरी तरह भरा गया हो तब तापमान 50ºC करने पर पारे की कितनी मात्रा बीकर से बाहर निकल जाएगी ?

दिया है αg = 8.3×10-6 ºC-1   और   γHg = 1.82×10-4 ºC-1

हल:-

i. 50ºC पर बीकर का नया आयतन

V beaker = V0(1 + 3αg ΔT) = (1)[1 + 3×8.3×10-6×50] = 1.001 liter

ii. 50ºC पर पारे का नया आयतन

V Hg = V0(1 + γHg ΔT) = (1)[1 + 1.82×10-4×50] = 1.009 liter

पारे की वह मात्रा जो बीकर से बाहर निकल जाएगी ΔV = (1.009 – 1.001) liter = 0.008 liter = 8 ml

 

प्रश्न (6). 1 मीटर स्टील स्केल तैयार किया जाना है ताकि मिलीमीटर के अंतराल एक निश्चित तापमान पर 5 × 10-4 mm के भीतर सटीक हो। तापमान में वह अधिकतम परिवर्तन ज्ञात कीजिये जिससे की स्केल यथार्थ मापन करे।

दिया है αsteel = 13.22×10-6 ºC-1

हल:- यहाँ

Δl = 5×10-4 mm ,   l = 1mm ,    αsteel = 13.22×10-6 ºC-1

Δl = αsteel × l × ΔT

5×10-4 = 13.22×10-6 ×1×ΔT

∴ ΔT = 500/13.22 = 37.82 ºC

 

उपरोक्त लेख का वीडियो लेक्चर :-

 

About the author

Manoj Kumar Verma

Hi, I'm Manoj Kumar Verma, a physics faculty having 7 years of teaching experience. I have done B.Tech (E.E.). I am also a YouTuber and Blogger. This blog is dedicated to help students learn the physics concepts easily.

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2 Comments

  • Sir these are good and important question related to the topic of JEE.
    Sir you expressed these solutions very clearly with having view like that you are teaching us here.
    We are imagine that here you are teaching us in these notes.
    And again thanks so much sir.

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