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LCR परिपथ में औसत शक्ति

LCR परिपथ में औसत शक्ति :- माना एक श्रेणीबद्ध LCR परिपथ पर निम्न प्रत्यावर्ती वोल्टता आरोपित की गई है :-

$\displaystyle E={{E}_{0}}sin\text{ }\omega t$ …..(1)

यदि प्रत्यावर्ती धारा, प्रत्यावर्ती वोल्टता से ϕ कला कोण पीछे हो, तब

$\displaystyle I={{I}_{0}}sin\left( \omega t-\phi \right)$ …..(2)

परिपथ में तात्क्षणिक शक्ति,

$\displaystyle P=E\times I=\left[ {{E}_{0}}sin\omega t \right]\times \left[ {{I}_{0}}sin\left( \omega t-\phi \right) \right]$

$\displaystyle \Rightarrow P={{E}_{0}}{{I}_{0}}sin\omega t\times \left[ sin\omega tcos\phi -cos\omega tsin\phi \right]$

$\displaystyle \Rightarrow P={{E}_{0}}{{I}_{0}}si{{n}^{2}}\omega tcos\phi -{{E}_{0}}{{I}_{0}}sin\omega tcos\omega tsin\phi$

$\displaystyle \Rightarrow P={{E}_{0}}{{I}_{0}}si{{n}^{2}}\omega tcos\phi -\frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}\left( 2sin\omega tcos\omega t \right)sin\phi$

$\displaystyle \Rightarrow P={{E}_{0}}{{I}_{0}}si{{n}^{2}}\omega tcos\phi -\frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}sin2\omega tsin\phi$ …..(3)

समीकरण (3) द्वारा प्रदर्शित तात्क्षणिक शक्ति का एक आवर्तकाल (एक पूर्ण चक्र) के लिए ज्ञात किया गया औसत मान, LCR परिपथ में औसत शक्ति को प्रदर्शित करता है।

अतः औसत शक्ति (P_avg.),

$\displaystyle {{P}_{avg.}}=\left\langle {{E}_{0}}{{I}_{0}}si{{n}^{2}}\omega tcos\phi -\frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}sin2\omega tsin\phi \right\rangle$

$\displaystyle \Rightarrow {{P}_{avg.}}=\left\langle {{E}_{0}}{{I}_{0}}si{{n}^{2}}\omega tcos\phi \right\rangle -\left\langle \frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}sin2\omega tsin\phi \right\rangle$

$\displaystyle \Rightarrow {{P}_{avg.}}=\left( {{E}_{0}}{{I}_{0}}cos\phi \right)\times \left\langle si{{n}^{2}}\omega t \right\rangle -\left[ \frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}sin\phi \right]\times \left\langle sin2\omega t \right\rangle$

$\displaystyle \Rightarrow {{P}_{avg.}}=\left( {{E}_{0}}{{I}_{0}}cos\phi \right)\times \left( \frac{1}{2} \right)-\left[ \frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}sin\phi \right]\times \left( 0 \right)$

$\displaystyle \Rightarrow {{P}_{avg.}}=\frac{{{E}_{0}}{{I}_{0}}}{2}cos\phi =\frac{{{E}_{0}}}{\sqrt{2}}\frac{{{I}_{0}}}{\sqrt{2}}cos\phi$

$\displaystyle \therefore {{P}_{avg.}}={{E}_{rms}}{{I}_{rms}}cos\phi ={{E}_{rms}}\left( \frac{{{E}_{rms}}}{Z} \right)cos\phi$ …..(4)

समीकरण (4) श्रेणीबद्ध LCR परिपथ में औसत शक्ति (P_avg.) को व्यक्त करती है जिसे निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है :-

औसत शक्ति (P_avg.) = आभासी वि. वा. बल (RMS मान) × आभासी धारा × cos ϕ

अतः एक पूर्ण चक्र में LCR परिपथ में औसत शक्ति, आभासी वि. वा. बल, आभासी धारा और वोल्टता व धारा के मध्य कला कोण की कोज्या ϕ के गुणनफल के तुल्य होती है।

समीकरण (4) सभी प्रत्यावर्ती परिपथों के लिए मान्य है, जैसे :-

1. 1. श्रेणी RL परिपथ में, $\displaystyle Z=\sqrt{{{R}^{2}}+X_{L}^{2}}$ और $\displaystyle cos\phi =\frac{R}{Z}$
  2. श्रेणी RC परिपथ में, $\displaystyle Z=\sqrt{{{R}^{2}}+X_{C}^{2}}$ और $\displaystyle cos\phi =\frac{R}{Z}$
  3. श्रेणी LC परिपथ में, $\displaystyle Z={{X}_{L}}-{{X}_{C}}$ और $\displaystyle \phi ={{90}^{\circ }}$
  4. श्रेणी RLC परिपथ में, $\displaystyle Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{X}_{L}}-{{X}_{C}} \right)}^{2}}}$ और $\displaystyle cos\phi =\frac{R}{Z}$