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विभिन्न प्रत्यावर्ती परिपथों का तुलनात्मक अध्ययन

विभिन्न प्रत्यावर्ती परिपथों का तुलनात्मक अध्ययन :- इस लेख में हम विभिन्न प्रत्यावर्ती परिपथों का भिन्न – भिन्न संयोजनों में तुलनात्मक अध्ययन करेंगे :-

(a) R-L , R-C व L-C परिपथों का श्रेणीक्रम में तुलनात्मक अध्ययन

(b) श्रेणीक्रम R-L-C व समान्तर क्रम R-L-C परिपथों का तुलनात्मक अध्ययन

उपरोक्त सारणी में पंक्ति (5) में,

$\displaystyle {{I}_{0}}=\sqrt{I_{0R}^{2}+{{\left( {{I}_{0L}}-{{I}_{0C}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle \Rightarrow I_{0}^{2}=I_{0R}^{2}+{{\left( {{I}_{0L}}-{{I}_{0C}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{\left( \frac{{{E}_{0}}}{Z} \right)}^{2}}={{\left( \frac{{{E}_{0}}}{R} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{E}_{0}}}{{{X}_{L}}}-\frac{{{E}_{0}}}{{{X}_{C}}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{\left( \frac{1}{Z} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{R} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{{{X}_{L}}}-\frac{1}{{{X}_{C}}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{\left( Y \right)}^{2}}={{\left( G \right)}^{2}}+{{\left( {{S}_{L}}-{{S}_{C}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle \therefore Y=\sqrt{{{\left( G \right)}^{2}}+{{\left( {{S}_{L}}-{{S}_{C}} \right)}^{2}}}$

उदाहरण 1.

दिये गये परिपथ की प्रतिबाधा ज्ञात कीजिये।

हल :

$\displaystyle Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{X}_{L}}-{{X}_{C}})}^{2}}}$

$\displaystyle \Rightarrow Z=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(9-6)}^{2}}}$

$\displaystyle \therefore Z=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{25}=5\Omega$

उदाहरण 2.

दिये गये परिपथ की प्रतिबाधा ज्ञात कीजिये।

हल :

$\displaystyle Y=\sqrt{{{G}^{2}}+{{\left( {{S}_{L}}-{{S}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{3} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle Y=\frac{\sqrt{2}}{6}{{\Omega }^{-1}}$

$\displaystyle \therefore Z=\frac{1}{Y}=\frac{6}{\sqrt{2}}\Omega$

उदाहरण 3.

दिये गये परिपथ में AC अमीटर का पाठयांक और प्रतिरोध तथा संधारित्र के सिरों पर विभवान्तर का मान ज्ञात कीजिये।

हल :

$\displaystyle Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{X}_{L}}-{{X}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 10 \right)}^{2}}+{{\left( 20-10 \right)}^{2}}}=10\sqrt{2}\Omega$

$\displaystyle {{I}_{0}}=\frac{{{V}_{0}}}{Z}=\frac{100}{10\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}Amp.$

क्यूंकि अमीटर धारा का RMS मान मापता है, अतः AC अमीटर का पाठयांक,

$\displaystyle {{I}_{rms}}=\frac{{{I}_{0}}}{\sqrt{\text{2}}}=\frac{\left( {}^{10}\!\!\diagup\!\!{}_{\sqrt{\text{2}}}\; \right)}{\sqrt{\text{2}}}=5Amp.$

प्रतिरोध तथा संधारित्र के सिरों पर विभवान्तर,

$\displaystyle {{V}_{0R}}=5\times 10=50\text{ }Volt$

$\displaystyle {{V}_{0C}}=5\times 10=50\text{ }Volt$

उदाहरण 4.

RLC परिपथ में R = 300 Ω , C = 20μF , L = 1.0 H , प्रत्यावर्ती स्रोत्र E_rms = 50 V और आवृत्ति (ν) = (50/π) Hz , श्रेणीक्रम में संयोजित हैं। परिपथ में RMS धारा का मान ज्ञात कीजिये ?

हल :

$\displaystyle {{I}_{rms}}=\frac{{{E}_{rms}}}{Z}=\frac{{{E}_{rms}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left[ \omega L-\frac{1}{\omega C} \right]}^{2}}}}=\frac{50}{\sqrt{{{300}^{2}}+{{\left[ 2\pi \times \frac{50}{\pi }\times 1-\frac{1}{20\times {{10}^{-6}}\times 2\pi \times \frac{50}{\pi }} \right]}^{2}}}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{I}_{rms}}=\frac{50}{\sqrt{{{(300)}^{2}}+{{\left[ 100-\frac{{{10}^{3}}}{2} \right]}^{2}}}}=\frac{50}{100\sqrt{9+16}}=\frac{1}{10}=0.1A$

उदाहरण 5.

यदि X_L = 50 Ω तथा X_C = 40 Ω है तो दिये गये परिपथ में धारा का प्रभावी मान ज्ञात कीजिये।

हल :

$\displaystyle Z={{X}_{L}}-{{X}_{C}}=50-40=10\Omega$

$\displaystyle {{I}_{0}}=\frac{{{V}_{0}}}{Z}=\frac{40}{10}=4Amp.$

अतः धारा का प्रभावी मान (RMS मान),

$\displaystyle {{I}_{rms}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}Amp.$

नोट :-

यहाँ X_L > X_C , अतः धारा विभवांतर से 90º कला कोण पीछे रहेगी।

उदाहरण 6.

दिये गये परिपथ में प्रेरक के सिरों पर विभवान्तर ज्ञात कीजिये।

हल :

$\displaystyle \because E_{0}^{2}=V_{0R}^{2}+V_{0L}^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_{rms}^{2}=\left( {{V}_{rms}} \right)_{R}^{2}+\left( {{V}_{rms}} \right)_{L}^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \left( {{V}_{rms}} \right)_{L}^{2}=E_{rms}^{2}-\left( {{V}_{rms}} \right)_{R}^{2}$

$\displaystyle \therefore {{\left( {{V}_{rms}} \right)}_{L}}=\sqrt{E_{rms}^{2}-\left( {{V}_{rms}} \right)_{R}^{2}}=\sqrt{{{100}^{2}}-{{60}^{2}}}=\sqrt{6400}=80Volts$

उदाहरण 7.

दिये गये परिपथों की प्रतिबाधा ज्ञात कीजिये :

हल :

(i) यह समान्तर क्रम परिपथ है अतः पहले प्रवेश्यता (Y) का मान ज्ञात करते हैं :

$\displaystyle Y={{S}_{L}}-{{S}_{C}}=\frac{1}{120}-\frac{1}{240}=+\frac{1}{240}$

$\displaystyle \Rightarrow Z=240\Omega$

(ii)

$\displaystyle E_{rms}^{2}=\left( {{V}_{rms}} \right)_{R}^{2}+\left( {{V}_{rms}} \right)_{L}^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow {{E}_{rms}}=\sqrt{\left( {{V}_{rms}} \right)_{R}^{2}+\left( {{V}_{rms}} \right)_{L}^{2}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=\sqrt{169}=13Volts$

$\displaystyle \therefore Z=\frac{{{E}_{rms}}}{{{I}_{rms}}}=\frac{13}{2}=6.5\Omega$

(iii) दिया है :

$\displaystyle R=3\Omega$

$\displaystyle {{X}_{L}}=\omega L=1\times 1=1\Omega$

$\displaystyle {{X}_{C}}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{\left( 0.2 \right)\times \left( 1 \right)}=5\Omega$

अतः

$\displaystyle Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{X}_{L}}-{{X}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( 1-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+16}$

$\displaystyle \therefore Z=5\Omega$

उदाहरण 8.

जब 220 V की प्रत्यावर्ती वोल्टता युक्ति X के सिरों पर आरोपित करते हैं तो परिपथ में 0.5 A की धारा प्रवाहित होती है तथा आरोपित वोल्टता की कला में होती है। जब यही वोल्टता दूसरी युक्ति Y के सिरों पर आरोपित करते हैं तो परिपथ में पुनः समान धारा प्रवाहित होती है लेकिन यह आरोपित वोल्टेज से π/2 रेडियन अग्रगामी होती है।
(a) X तथा Y युक्ति का नाम लिखिए।
(b) अब यदि यही वोल्टेज X तथा Y के श्रेणी क्रम संयोजन पर आरोपित करें तब परिपथ में प्रवाहित धारा की गणना कीजिए।

हल :

(a) X प्रतिरोध है तथा Y संधारित्र है।

(b) प्रारम्भ में दोनों युक्तियों में धारा का मान समान है, अतः

$\displaystyle R={{X}_{C}}=\frac{220}{0.5}=440\Omega$